【推荐1】如图，在正方形和正方形中，M为的中点，，．

(1)求证：∽．
(2)已知，求的面积．
(3)求证：．

【推荐2】如图，在四边形中，对角线和相交于点，且．
   
(1)求证：；
(2)如图，点在边上，与相交于点，，若，，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，在（）的条件下，与相交于点，若，，求线段的长．

【推荐3】在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G．
(1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长；

(2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值；

(3)当F是中点，且时，求的长．

【推荐1】以的边，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，是中点，连接，．

(1)如图，在中，当时，求与的数量关系和位置关系．
(2)如图，当为一般三角形时，（）中的结论是否成立？请说明理由．
(3)如图，若以的边，为直角边向内作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其他条件不变，（）中的结论是否成立？请说明理由．

【推荐3】提出问题：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者——海伦．一天，一位将军专程拜访他，请教一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去军营B开会，怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它．这个问题被称为“将军饮马”的问题．你知道海伦是怎样解决这个问题的吗？
研究方法：第一步作其中一定点的对称点，第二步连接对称点和另一定点，第三步找与河(对称轴)的交点．如图2，此时最短，由轴对称的性质可得，所以最短，如图3，在直线上任取点，的理由是：____________．

方法应用：对称变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：
（1）如图4，在等边中，，，是的中点，是上的一点，则的最小值是______；(请直接写出答案)
（2）如图5，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上运动，当的值最小时，点的坐标是______；(请直接写出答案)
（3）如图6，于点，于点，且，，当点在直线l上运动时，的最小值是______．(请直接写出答案)

【推荐3】在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得且(点，，逆时针排列)，则称点是线段的“关联点”如图1．点是线段的“关联点”．

(1)如图2，已知点，，点与点重合．
①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是___________；
②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_______________．
(2)如图3，已知，．

①当点与点重合，点在线段上运动时(点不与点重合)，若点是线段的“关联点”，求证：；
②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．