【推荐1】已知：如图1，在正方形ABCD中，E，G分别是BC，CD上的点，AE⊥BG于点Q．

(1)请直接写出线段AE于BG之间的数量关系．
(2)初探：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．请判断线段AE于FG之间的数量关系，并说明理由．
(3)再探：如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N，平移线段BC至DG处，连接GE，请判断线段GE于BC之间的数量关系，并说明理由．

【推荐2】在△OAB中，OA＝OB，∠AOB=n°，C为平面内一点，连接OC，将OC绕点O逆时针旋转n°得到线段OD，连接AC、BD交于点M．

(1)如图1，若n＝35，填空：
①AC与BD的数量关系为 　 　；
②∠AMB的度数为 　 　；
(2)如图2，若n＝90：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数；
(3)在（2）的条件下，当∠CAB＝30°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．

【推荐3】【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）请直接写出线段OC的最大值
【迁移拓展】
（3）如图2，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．

【推荐2】如图所示，点是线段的中点，，．

(1)如图1，若，求证：是等边三角形；
(2)如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，①求证：；②求的长度；
(3)如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，请直接写出点的运动路径的长度．

【推荐3】如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在边AB上．
(1)求∠AED的度数；
(2)连接AC，如图2所示，试判断△ABC的形状；
(3)如图3所示，若F为线段CD上一点，AB=4，∠FBC=30º，求DF的长．