【推荐1】如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．

(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过，两点．动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，过点作交于点．

(1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式；
(2)过点E作于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？
(3)连接，是否存在的值使为等腰三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．（参考公式：平面内两点、间的距离）

【推荐3】如图，抛物线经过原点O和点，且与x轴交于点，顶点为C．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若P在y轴右侧的抛物线上，过点P作轴，垂足为Q，是否存在点P，使得以P、Q、A为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，0），点C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．

（1）求证：AO=AB；
（2）求证：△AOC≌△ABD；
（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生变化，为什么？

【推荐2】（1）如图1，△ABC中，，是的中线，且，求的取值范围；
（2）如图2， 和是两个全等的三角形，，且，将绕点C顺时针旋转，如图3，点A的对应点是E，点B的对应点为F，取的中点M，连接，求证：；
（3）在（2）的条件下，当时，则______（直接填结果）．
   

【推荐3】在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．

（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰，若已知，，试求C点的坐标．
（2）如图②，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为b，以B为顶点， 为腰作等腰，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求式子的值．
（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且，于点F，以OB为边作等边，连接EM交OF于点N，求式子的值．

【推荐1】综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动．
(1)折一折、画一画：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；

操作二：如图1，P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交于点Q．由上述操作后探究可得：______°，的形状是______三角形．
(2)剪一剪，移一移：
操作三：把纸片展平，沿剪开；
操作四：如图2，将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H．连接，若，平移距离为x．
①当为直角三角形时，求出x的值；
②设四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出当x为何值时，y取最大值，y的最大值为多少？

【推荐2】如图，矩形的两条边的长是方程的两根沿直线将矩形折叠，点落在第一象限的点处，交轴于点．
   
（1）求点和点的坐标；
（2）将直线以每秒个单位长度的速度沿轴向下平移，求直线扫过的三角形的面积关于运动的时间的函数关系式；
（3）在(2)的条件下，在移动的直线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标;若不存在，请说明理由．

【推荐3】【教材呈现】如图，在中，点D、E分别是与的中点．则与的关系是，；

【感知】如图1，在矩形中，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连结、、．，与的数量关系是____________．
【应用】如图2，在中，，，、是的中线，M、N分别是和的中点，求的长；
【拓展】如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接，求的值．

【推荐1】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为，连接．
   
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若，
①求m的值；
②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结．设的面积为S．若S为正偶数，试求点P的坐标．

【推荐2】如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点．

   

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为抛物线第一象限内动点，求四边形的面积的最大值；
(3)如图2，点从点出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．当是直角三角形时，求的值．

【推荐3】如图，二次函数y=ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的.