【推荐1】如图，在中，，的平分线交BC于点D，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．

(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过⊙O外一点D作DO⊥AB于点O，交BC于点E，连接AC，DC，且DE＝DC．

(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若，⊙O的半径为6，求OD的长．

【推荐1】如图，在中，，，，点P在上，，点E、F同时从点P出发，分别沿以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也运动到点B时停止．在点E、F运动过程中，以为直径作圆．设点E运动的时间为t秒．

(1)当以为直径的圆与的边相切时，求t的值；
(2)当时，写出以为直径的圆与的重叠部分的面积S与t的函数表达式．

【推荐2】如图，已知中，，以为直径的交于点D，与相切，交于点E，连接，，．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若以，的长为方程两个实数根，求b的值；（若一元二次方程的两个根为，，则，．）
(3)求图中以线段，和所围成图形的面积．

【推荐3】如图，在中，，为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点，交边于点．

(1)求证：．
(2)若，．
求半圆的半径；
求图中阴影部分的面积．

【推荐1】（1）如图1，已知正方形的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿、方向向终点C和D运动．连接和，交于点P．
   
①猜想与的位置关系，并证明你的结论．
②求运动过程中，线段扫过的面积．
（2）如图2，已知菱形的对角线为，．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C和A运动．连接和，交于点P．求周长的最大值．
   

【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．

(1)求证：DE与⊙A相切；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【推荐3】如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E，与AB相交于点F，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若点E为的中点，探究线段BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点E为的中点，CD＝，求与线段BD，BF所围成的阴影部分的面积．

【推荐1】已知，如图①将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的处，点B落在处，得到折痕EF，交AB于点M．交DE于点N，再把纸片展平．

（I）如图①，填空：若AD＝3，则ED的长为__________；
（II）如图②，连接，是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明：若不是，请说明理由：
（III）如图②，若，，求的值．（直接写出结果即可）．

【推荐3】如图，已知点在反比例函数的图象上，将双曲线沿轴翻折后得到的是反比例函数的图象，直线交轴于点，交轴于点，为线段上的一个动点（点与、不重合），过作轴的垂线与双曲线在第二象限相交于点．

(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
(3)在线段上是否存在点，使得、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．