【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为．
   
(1)求抛物线所对应的函数表达式．
(2)当时，求矩形的周长．
(3)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值．
(4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

【推荐2】如图，已知抛物线与坐标轴交于、、三点，点的坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，过作于点．若，且．

（1）点的坐标是________，________；
（2）求线段的长（用含的式子表示）；
（3）依点的变化，是否存在t的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出所有的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为.
（1）已知点在一次函数的相关函数的图像上，求的值；
（2）已知二次函数.
①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值；
②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值.
（3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围.

【推荐1】已知， 如图四边形 内接于，是的直径，，点 在的延长线上，平分交延长线于，交于，连接，，．

(1)求证：平分；
(2)求的度数；
(3)若，的面积等于，求的长．

【推荐3】如图，为的直径，C为上一点，F为过点B的切线上的一点，连接、交于点E，交于点D，．

(1)求证：点D为弧的中点；
(2)连接，过点D作于点H，交于点G，连接，交于点N，求证：．
(3)在（2）的条件下，，，求的半径．

【推荐1】如图，在中，，点D为斜边上一点，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，连接交于点F．

(1)如图1，若，，D为的中点，求的长度．
(2)如图2，于点D，G为边上一点，且，求证：．
(3)如图3，若，，当线段值最小时，直接写出的面积．

【推荐2】在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒．

(1)用表示线段的长度；
(2)连接，求的值；
(3)当点在平行四边形的对角线上时，求的值；
(4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴的正半轴交于点．且．

(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，轴交射线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，作轴交轴于点，点在线段上，且，，交直线于点，当时，是线段上的一点，过点作平行于轴，与线段交于点，连接、，恰好使，延长交抛物线于点，连接，求线段的长．