【推荐1】已知点P为∠MAN边AM上一动点，⊙P切AN于点C，与AM交于点D（点D在点P的右侧），作DF⊥AN于F，交⊙O于点E．
（1）连接PE，求证：PC平分∠APE；
（2）若DE＝2EF，求∠A的度数；
（3）点B为射线AN上一点，且AB＝8，射线BD交⊙P于点Q，sin∠A＝．在P点运动过程中，是否存在某个位置，使得△DQE为等腰三角形？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图．

【知识理解】
(1)已知点A的坐标为(0，0)，点P关于点A的“顺转点”为点Q．
①若点P的坐标为(1，0)，则点Q的坐标为　　；
②当点P的坐标为　　时，点Q的坐标为(2，-1)；
③△PAQ是　　 三角形；
【知识运用】
(2)如图2，已知直线与x轴交于点A．
①点B的坐标为(1，0)，点C在直线上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标是　　；
②点E在直线上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为　　；
【知识迁移】
(3)如图3，已知直线l₁：y=-2x+2与y轴交于点A，直线l₂经过点A，l₁与l₂在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l₂的函数表达式为　　；
(4)点A是平面直角坐标系内一点，点P(2，0)关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y=-x上，当线段AP最短时，点A的坐标为　　．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线分别交x轴，y轴于点A，B．

(1)求的度数；
(2)点C是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，其中，且点D在第三象限，连接．设点C的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，连接，点F是的中点，连接并延长交x轴于点G，过点D作交x轴于点H，若，，求点D的坐标．

【推荐2】已知：为的直径，为圆心，点，分别为圆上一点，且，连接交于点，连接．．

(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，点为内部一点，连接，，若时，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，的半径为10，求的长．

【推荐3】如图1，内接于，的外角的平分线交于点P（点A在弧之间），连接．

(1)求证：．
(2)若，求的半径长．
(3)如图2，在（2）的条件下，若，求的长．

【推荐2】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．

(1)证明：；
(2)当点A在线段上运动时，猜想和之间的关系，并证明．
(3)在A的运动过程中，当，时，求的面积．

【推荐2】如图，是的直径，弦于点H，连接，过上一点E作交的延长线于点G，连接交于点F，且，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）延长交于点M，若，，求的值．

【推荐3】已知：如图，在中，度．是上一点，以为圆心、为半径的圆与交于点，与切于点，，．设是线段上的动点（与、不重合），．   
求的长；
求为何值时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形；
在点的运动过程中，与的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由；
请再提出一个与动点有关的数学问题，并直接写出答案．