如图，二次函数
的图像如图所示，点F的坐标为
，直线
的表达式为
，且经以坐标原点O为圆心且过点F的单位圆与直线相切．过点F的动直线在第一、二象限交二次函数的图像于点A，B，点C线段AB的中点．过点A，B，C向直线作垂线，垂足为
，
，
，连接
，
交于点M，连接
，
交于点N，
(1)求二次函数
的表达式．
(2)判断四边形
的形状，并做出证明．
(3)在图中，是否存在圆心在线段AB上且与线段AB有两个交点的圆，满足其与图中已有的水平直线（不包括考生自行添加的辅助线）相切？写出你的结论并给出证明．
的图像如图所示，点F的坐标为，直线的表达式为，且经以坐标原点O为圆心且过点F的单位圆与直线相切．过点F的动直线在第一、二象限交二次函数的图像于点A，B，点C线段AB的中点．过点A，B，C向直线作垂线，垂足为，，，连接，交于点M，连接，交于点N，(1)求二次函数
的表达式．(2)判断四边形
的形状，并做出证明．(3)在图中，是否存在圆心在线段AB上且与线段AB有两个交点的圆，满足其与图中已有的水平直线（不包括考生自行添加的辅助线）相切？写出你的结论并给出证明．
更新时间：2022-03-17 16:28:11
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真题
解题方法
【推荐1】如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，0)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线
、
．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线
相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线
的距离之和等于线段MN的长．
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【推荐2】已知抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）与x轴正半轴交于点A，且关于直线x＝2对称．
(1)求a，b满足的关系式；
(2)直线y＝kx－4k＋2交抛物线于点B，C，作CP//y轴，交直线AB于点P，且当k＝1时，BC＝8
①求抛物线的解析式；
②对于每个给定的实数k，请说明点P在一条确定的直线上，并求出这条直线的解析式．
(1)求a，b满足的关系式；
(2)直线y＝kx－4k＋2交抛物线于点B，C，作CP//y轴，交直线AB于点P，且当k＝1时，BC＝8
①求抛物线的解析式；
②对于每个给定的实数k，请说明点P在一条确定的直线上，并求出这条直线的解析式．
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（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
，求点A，B，C的坐标；
，求点D的坐标；
）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若
，求m，n之间的数量关系．
解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】如图，已知抛物线
．点
在抛物线的对称轴上，
是抛物线与
轴的交点，
为抛物线上一动点，过点作
轴的垂线，垂足为点
．
(1)直接写出
，
的值；
(2)如图，若点的坐标为
，点
为轴上一动点，直线
与抛物线对称轴垂直，垂足为点
．探求
的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接
，
，若
，求点的坐标．
．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点．(1)直接写出
，的值；(2)如图，若点
的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，连接
，，若，求点的坐标．
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(0.15)
【推荐2】如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，过点B，C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于 D．设t＝
，请求出t的最大值和此时点P的坐标；
（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于 D．设t＝
，请求出t的最大值和此时点P的坐标；（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．
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经过定点M，以M为顶点的抛物线
与x轴交于A，B两点（A左B右）．
，
（直接写出结果）；
，求k的值；
是坐标平面内一点，求N，P两点之间距离的最小值．
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【推荐1】已知四边形
，
． 点E在四边形的外部，连结
．是矩形．
(2)若
， 
，求解
的长．
，． 点E在四边形的外部，连结．
是矩形．(2)若
， ，求解的长．
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解题方法
【推荐2】如图，已知二次函数
：
和二次函数
：
图象的顶点分别为
、
，与轴分别相交于
、
两点（点在点的左边）和、两点（点在点的左边），
（1）函数的顶点坐标为______；当二次函数，的值同时随着的增大而增大时，则的取值范围是_______；
（2）判断四边形
的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线，均会分别经过某些定点；
①求所有定点的坐标；
②若抛物线位置固定不变，通过平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线应平移的距离是多少？
：和二次函数：图象的顶点分别为、，与轴分别相交于、两点（点在点的左边）和、两点（点在点的左边），（1）函数
的顶点坐标为______；当二次函数，的值同时随着的增大而增大时，则的取值范围是_______；（2）判断四边形
的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线
，均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；
②若抛物线
位置固定不变，通过平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线应平移的距离是多少？
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【推荐3】如图，抛物线
与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线
的对称轴是_______，用含a的代数式表示顶点P的坐标_______；
（2）把抛物线绕点M（m，0）旋转
得到抛物线
（其中m>0），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当m=1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；
③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积．
与x轴交于点A，顶点为点P．（1）直接写出抛物线
的对称轴是_______，用含a的代数式表示顶点P的坐标_______；（2）把抛物线
绕点M（m，0）旋转得到抛物线（其中m>0），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．①当m=1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；
③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积．
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【推荐1】在四边形中，
，
，
，
，过点C作
于点E，连接
，且
，将半圆O的直径
放在边上，且点P与点A重合，
，将半圆O绕点A顺时针旋转
，如图1所示．
；
(2)在旋转过程中，当点O与的距离最短时，求
的度数；
(3)当
时，点H从点Q开始沿
以每秒
个单位长的速度运动，同时半圆O从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向右平移，运动时间为t秒（
）．
①如图2，当半圆O与相切于点K时，求
的长；
②当（包括端点）与四边形
的边有两个交点时，请直接 写出t的取值范围．
中，，，，，过点C作于点E，连接，且，将半圆O的直径放在边上，且点P与点A重合，，将半圆O绕点A顺时针旋转，如图1所示．
；(2)在旋转过程中，当点O与
的距离最短时，求的度数；(3)当
时，点H从点Q开始沿以每秒个单位长的速度运动，同时半圆O从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向右平移，运动时间为t秒（）．①如图2，当半圆O与
相切于点K时，求的长；②当
（包括端点）与四边形的边有两个交点时，请
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(0.15)
解题方法
【推荐2】在
中，
，
，
，点、点
同时从点出发，点沿边
以
的速度向点运动，点从点出发，沿边以
的速度向点运动（点不与、重合，点不与、重合），设运动时间为
．
（1）求证：
；
（2）当
为何值时，以
为直径的
与直线
相切？
（3）把
沿直线折叠得到
，若与梯形
重叠部分的面积为
，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
中，，，，点、点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动（点不与、重合，点不与、重合），设运动时间为．（1）求证：
；（2）当
为何值时，以为直径的与直线相切？（3）把
沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
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与x轴交于
，
两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线
轴，垂足为D，直线
交直线
轴，垂足为F，直线
与直线
且
，当
时，请求出点P的坐标；
，作直线
，
，当
时，请直接写出满足条件的
的最小值以及此时点P的坐标．
