【推荐1】已知点，，a与b满足．点C为AB的中点．

(1)如图1，求的长；
(2)如图2，E、F分别为上的动点，且，求证：
(3)如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰，，T为线段的中点，连并延长至点N，使，连，求的最小值．

【推荐2】等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；并说明理由；
（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积.

【推荐3】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，连接，．
   
(1)如图1，求a的值；
(2)如图2，点E在第一象限的抛物线上，连接、，设点E的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于F，点H在的延长线上，连接、，交y轴于D，若，，求的长．

【推荐1】建立模型：

（1）如图 1，已知，，，顶点在直线 上．操作：过点作于点，过点作于点，求证．

模型应用：

（2）如图2，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到，求的函数表达式．

（3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作于点，是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．

【推荐2】如图，等腰中，，，点，分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点的横坐标为，直接写出点的坐标_______；
   
（2）如图2，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以，为边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
   

【推荐3】如图，在中，BC=1，.

(1)求AB的长度:
(2)过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D ，以AB为一边作等边.
①连接CE，求证: BD=CE;
②连接DE交AB于F.求的值.

【推荐2】数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片，其中， （a为常数）．

(1)操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，求的周长（用含a的代数式表示）．
(3)拓展应用
改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三等分点，请直接写出此时的长（用含a的代数式表示）．

【推荐3】如图，在矩形中，平分，交于点，点是上的一点，连接，，且．过点作于，延长线交于，过点作于．

(1)如图1，①若，求线段的长；
②求证：；
(2)如图2，过点作于，当时，若，求的长