【推荐1】已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC→CB→BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．

⑴求出该反比例函数解析式；
⑵连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求t值；

【推荐2】综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

   

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，
(2)迁移探究
爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时，　　；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

【推荐1】课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

【推荐2】如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点，设运动的时间为t秒．
   
(1)当点Q在线段上时，求证：；
(2)当点Q在线段上时是直角三角形，求出此时t的值？
(3)当点Q在线段上时是等腰三角形，写出此时t的值？

【推荐3】综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

   

(1)操作判断   已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断：
①线段与线段的数量关系是________；
②直线与直线相交所夹锐角的度数是________；
(2)迁移探究   如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长．

【推荐2】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．

（1）证明△PAE∽△CDP；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设AP＝x，BE＝y，求y与x的函数关系式及y的取值范围；
（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．

【推荐3】阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明思路如下：过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
   
(1)请参照上面小亮的证明思路，利用图①证明．
(2)如图②，在中，是的角平分线，已知，则的值为_________．
(3)如图③，在矩形中，点是上一点，已知，，，连接，平分与交于点，则的长为_________．

【推荐1】如图，已知四边形是平行四边形，点和在轴上，且为坐标原点，点，和点，连接并延长交轴于点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点从出发以2个单位/秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位/秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线分别于点，，请猜想四边形的形状，(点，重合除外)，并证明你的结论．
(3)在(2)的条件下，当点运动多少秒时，四边形是正方形?直接写出结论．

【推荐3】抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点为抛物线上一点，且直线轴，点M是抛物线上的一动点．
   
(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．
(3)过点M作直线的垂线，垂足为N，若将沿翻折，点N的对应点为，则是否存在点M，使点则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．