【推荐2】如图，是正方形的对角线，点是的中点，点是上一点，连接于点交于点连接．
求证：（1）；
（2）．

【推荐3】将矩形沿折叠，使顶点A落在上的点处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点A落在折痕上的点处，再将矩形沿折叠，此时顶点恰好落在上的点处，如图2．

(1)求证：；
(2)如果，求和的长．
(3)结合你对（1）（2）的理解，请你猜想、和之间的数量关系，直接写出结论．

【推荐2】如图，四边形是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
   
(1)在图①中，若是直径，与圆相切，画出圆心O；
(2)在图②中，若均与圆相切，画出圆心O．

【推荐3】如图，已知菱形ABCD中，，点E是BC边上的一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H.

（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；
（2）请从下面AB两题中任选一题作答，我选择______题.
A.若四边形BGEH为菱形，则BD的长为_____.
B.连接HC，CF，BF，若，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为______.

【推荐1】如图，点为矩形的对称中心，，，点，，分别从，，三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点的运动速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点，，运动的时间为（单位：）．

(1)当　　s时，四边形为正方形．
(2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形可能全等？
(3)是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

(1)【问题解决】如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边DC上，折痕为DE，点E在边AB上．求证：四边形是正方形．
(2)【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．若将矩形纸片沿PF折叠，如图②，使点A的对应点为点Q(点Q在点C的左侧)，点F在边DC上，点P在边AB上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
(3)【结论应用】在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在边AB上．若，，则的周长为______，四边形PGQF的面积为______．

【推荐1】有一张矩形纸片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原．
　
(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
①当点P与点A重合时，∠DEF＝________°，当点E与点A重合时，∠DEF＝________°，当点F与点C重合时，AP＝________；
②若点P为AB的中点，求AE的长；
(2)若点P落在矩形ABCD的外部（如图②），点F与点C重合，点E在AD上，BA与FP交于点M，当AM＝DE时，请求出AE的长；
(3)若点E为动点，点F为DC的中点，直接写出AP的最小值．

【推荐2】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

　

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点在上时，______°，______°；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

【推荐3】已知：在矩形中，，，点P是边上的一个动点，将矩形折叠，使点B与点P重合，点A落在点G处，折痕为．
   
(1)如图1，当点P与点D、C均不重合时，取的中点O，连接并延长与的延长线交于点M，连接、、．
①求证：四边形是平行四边形；
②当时，求四边形的面积．
(2)如图2，设，用含t的式子表示四边形的面积S，并求出S的最大值及此时t的值．