【推荐2】在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，．

(1)填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______；
(2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长；
(3)若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)．

【推荐1】如图，在中，平分，于点，点是的中点．

             

【探究】
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________；
【初步运用】
（3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________；
【灵活运用】
（4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________．

【推荐2】正方形ABCD中，点E，G，H分别在AB，AD，BC上，DE与BG相交于点O．∠GOD＝90°，
（1）求证：DE＝GH；
（2）平移图1中的线段GH，使G点与D点重合，H点在BC的延长线上，连接EH，取EH的中点P，连接PC，且，求证：BE＝PC．

【推荐3】如图，是的中位线，延长至点，使，连接，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)要使四边形是菱形，的边需要满足的条件是________．

【推荐1】定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．

（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于______________；
②四边形为（ ）

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；
（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．

【推荐2】如图1，抛物线y=ax²+bx+4的图象过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒 个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将沿CF折叠得到，当t为何值时，四边形是菱形？

【推荐3】在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合．
（1）如图，对角线AC、BD相交于点O，连接OE，则线段OE的长＝        ；
（2）如图，过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连接AF，求证：四边形ABEF是菱形；
（3）如图，在（2）条件下，线段AE、BD相交于M，连接CE，求线段CE的长．

【推荐1】如图，在△中，高＝3，∠＝45°，＝，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速速向终点运动，当点与点、不重合时，过点作、的平行线，与分别交于点、，将△绕的中点旋转180°得△，设点的运动时间为秒，△与△重叠部分面积为．

（1）当＝          秒时，点落在边上．
（2）求与的函数关系式．
（3）当直线将△分为面积比为1:3的两部分时，直接写出的值．

【推荐2】如图，将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中，有，， ，且．现将绕点逆时针旋转，旋转角为．在旋转过程中，直线分别与直线，交于点，．
   
（1）当旋转角时，求点的坐标；
（2）在旋转过程中，当时，求直线的解析式；
（3）在旋转过程中，能否为等腰是三角形？若能，请求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）将抛物线y＝x²+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；
（3）将抛物线y＝x²+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．