【推荐1】如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，
求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心在∠AOB的平分线上．

【推荐2】作图题（用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图，作出线段AB的中垂线；
（2）如图，作出∠AOB的平分线OP；

【推荐3】作图题

(1)在直线上找一点O修建加油站，使加油站到公路和公路的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置．（保留作图痕迹，不写做法）
(2)作出关于点A成中心对称的图形（保留作图痕迹）

【推荐1】在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．
已知：如图，直线及其外一点求作：的垂线，使它经过点．
小云的作法如下：
①在直线上任取一点，连接．
②以为圆心，线段的长度为半径作弧，交直线于点．
③分别以，为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点．
④作直线直线即为所求如图．
   
(1)证明：直线．
(2)若，，求四边形的周长．

【推荐2】尺规作图（保留作图痕迹，不写作法，）
如图，已知线段，
求作：三角形，使，且，高．

【推荐3】如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，且满足．
   
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：．小育想到的思路是：由，可得到一组直角三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小育的思路完成下面的填空：
证明：∵四边形是矩形，
∴①________，，
∴，
∵，
∴②________，
∴．
在和中：
，
∴，
∴④________，
∵，，
∴⑤________．
∴，
即．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边．

(1)求证：；
(2)的度数为_________；
(3)当点运动时，的长度是否发生变化？若不变化，直接写出的长，若变化请说出变化的规律．
(4)在轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标．

【推荐2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．

(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．

【推荐3】如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F．

(1)若，，求的长．
(2)若，求证：．

【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若 ，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

【推荐2】如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径和AD的长．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，
①用尺规作出点A到CD所在直线的距离；
②求出该距离．