（1）如图1，四边形ABCD中，BC＝
，AD＝
，CD＝
，∠A＝120°，∠ADC＝90°，求四边形对角线BD的长；
（2）如图2，四边形ABCD是某农业种植基地的的试验田，AB＝BC＝CD＝6km，∠ABC＝60°，∠BCD＝150°，点E为一处灌溉井，E在AB上，BE＝4km，为提升种植质量和产量，现过点E建一条笔直的浇灌水渠l，并改动点A的位置至A'处，使得A′与B关于l对称．改建试验田（四边形A'BCD）时，面积是否有最大值？如果有，当面积最大时，求A'B的长及此时水渠l与AB所夹锐角的度数；如果没有，说明理由．（结果保留根号）
，AD＝，CD＝，∠A＝120°，∠ADC＝90°，求四边形对角线BD的长；（2）如图2，四边形ABCD是某农业种植基地的的试验田，AB＝BC＝CD＝6km，∠ABC＝60°，∠BCD＝150°，点E为一处灌溉井，E在AB上，BE＝4km，为提升种植质量和产量，现过点E建一条笔直的浇灌水渠l，并改动点A的位置至A'处，使得A′与B关于l对称．改建试验田（四边形A'BCD）时，面积是否有最大值？如果有，当面积最大时，求A'B的长及此时水渠l与AB所夹锐角的度数；如果没有，说明理由．（结果保留根号）
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更新时间：2022-04-21 11:40:24
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(0.4)
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B，C在x轴上，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BC＝4
，点D在y轴负半轴上，点E在线段AC上，∠BDE＝60°．
(1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
(2)如图1，求证：DB＝DE；
(3)如图2，过点C作CF⊥DE，垂足为F，交AB于点G，若CF＝FG，求点D的坐标．
，点D在y轴负半轴上，点E在线段AC上，∠BDE＝60°．(1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
(2)如图1，求证：DB＝DE；
(3)如图2，过点C作CF⊥DE，垂足为F，交AB于点G，若CF＝FG，求点D的坐标．
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(0.4)
【推荐2】如图，
中，
，以直角边AC为腰，向外作等腰直角三角形
，
，
，点E是
边上一点，且
，
．
(1)探究：
与
的数量关系；
(2)求证：
；
中，，以直角边AC为腰，向外作等腰直角三角形，，，点E是边上一点，且，．(1)探究：
与的数量关系；(2)求证：
；
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(0.4)
【推荐1】综合与实践
问题情境：
如图1，为等边三角形．在直角三角尺
中，
，
，将三角尺的顶点
放在的边上，并将三角尺绕点旋转，使得三角尺的两边
分别与边
交于点
．
（1）勤学小组的同学发现在三角尺绕点旋转的过程中，
与
始终相等，请你证明这一结论；
（2）如图2，连接
，在三角尺绕点旋转的过程中，当
时，试判断
的形状，并说明理由；
深入探究：
（3）如图3，善思小组的同学在图2的基础上，将
沿射线的方向平移，使点
的对应点恰好与点
重合，得到
，连接
．如果
，
，请直接写出线段的长．
问题情境：
如图1，
为等边三角形．在直角三角尺中，，，将三角尺的顶点放在的边上，并将三角尺绕点旋转，使得三角尺的两边分别与边交于点．
（1）勤学小组的同学发现在三角尺绕点
旋转的过程中，与始终相等，请你证明这一结论；（2）如图2，连接
，在三角尺绕点旋转的过程中，当时，试判断的形状，并说明理由；深入探究：
（3）如图3，善思小组的同学在图2的基础上，将
沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，连接．如果，，请直接写出线段的长．
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【推荐2】已知
，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接
．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接
．
（1）如下图，若P为线段AB的中点．
①直接写出
的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如下图，若线段CP与BQ交于点D．
①设
，求
的大小（用含a的式子表示）；
②用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．
，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接．（1）如下图，若P为线段AB的中点．
①直接写出
的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如下图，若线段CP与BQ交于点D．
①设
，求的大小（用含a的式子表示）；②用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．
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内接于
，点
的延长线上，
．
，求
的长．
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解题方法
【推荐1】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）解决问题：已知AB＝5
．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2
，则S△ABC＝ ．
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②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2
，则S△ABC＝ ．
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(0.4)
【推荐2】如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．求运动时间t为多少秒时，△PQB成为以PQ为腰的等腰三角形？
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是等边三角形，连接
并延长至点M，使
，连接
，将
的形状为___________；
，将
，当A、C、D三点在同一直线上时，请直接写出
的值．
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与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
的对称轴是直线
，且经过A、C两点与x轴的另一交点为B．
(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式；
(2)点E为直线
上方抛物线上的一动点，过点E作
x轴于点G，交于点D，连接
，当四边形
面积最大时，求出E点的坐标．
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作
轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的
与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，且经过A、C两点与x轴的另一交点为B．(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式；
(2)点E为直线
上方抛物线上的一动点，过点E作x轴于点G，交于点D，连接，当四边形面积最大时，求出E点的坐标．(3)抛物线上是否存在点M，过点M作
轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
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名校
解题方法
【推荐2】如图，在
中，
，
，
．点
在上以每秒
个单位长度的速度向终点运动．点
沿
方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点
重合时，连结
，以，
为邻边作
．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为
，与重叠部分的图形面积为
．
（1）点到边
的距离
，点到边的距离 ；(用含
的代数式表示)
（2）当点
落在线段上时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式；
（4）连结
，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值．
中，，，．点在上以每秒个单位长度的速度向终点运动．点沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连结，以，为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为，与重叠部分的图形面积为．（1）点
到边的距离 ，点到边的距离 ；(用含的代数式表示)（2）当点
落在线段上时，求的值；（3）求
与之间的函数关系式；（4）连结
，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值．
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中，
，
，动点P从点A出发，沿
的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点C出发，沿
以
的速度向点D匀速运动，到达点D后，继续沿
以
的速度向终点A匀速运动．连接
，连接
．
是等腰三角形时，求x的值．
上，
与
相似时，求x的值．
是等腰三角形时，直接写出x的值．
