【探究发现】
与正方形ABCD的边长相等，在正方形绕点O旋转过程中，边
交边AB于点M，边
交边BC于点N．
①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是________；
②四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是
________
；
【类比探究】
(2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60°的菱形ABCD”，即
，且菱形
与菱形ABCD的边长相等．当菱形绕点O旋转时，保持边
交边AB于点M，边
交边BC于点N．
请猜想：
①线段BM、BN与AB之间的数量关系是_________________；
②菱形OMBN与菱形ABCD的面积关系是________
；
请你证明其中的一个猜想．
【拓展延伸】
(3)如图3，把（2）中的条件“”改为“
”，其他条件不变，则
①
________；（用含α的式子表示）
②
________．（用含α的式子表示）
与正方形ABCD的边长相等，在正方形绕点O旋转过程中，边交边AB于点M，边交边BC于点N．①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是________；
②四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是
________；【类比探究】
(2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60°的菱形ABCD”，即
，且菱形与菱形ABCD的边长相等．当菱形绕点O旋转时，保持边交边AB于点M，边交边BC于点N．请猜想：
①线段BM、BN与AB之间的数量关系是_________________；
②菱形OMBN与菱形ABCD的面积关系是
________；请你证明其中的一个猜想．
【拓展延伸】
(3)如图3，把（2）中的条件“
”改为“”，其他条件不变，则①
________；（用含α的式子表示）②
________．（用含α的式子表示）
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更新时间：2022-04-29 16:40:05
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】（综合与实践
【问题情境】
为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型”问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四边形
的纸片，E，F分别是线段
和
的中点，如图1．
老师引导同学们用三角尺分别过点E，F作线段和的垂线，两垂线交于点G，连接
．
老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有哪些发现呢？
经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现．
时，
．”
（2）如图2，小莹发现：“当图形满足条件时，
．”
老师肯定了两人结论的正确性，请你说明两人结论成立的理由．
【拓展应用】
（3）如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若
所在的直线互相垂直，且
，就能求出
的值．”老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明求出的值．
【问题情境】
为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型”问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四边形
的纸片，E，F分别是线段和的中点，如图1．
老师引导同学们用三角尺分别过点E，F作线段
和的垂线，两垂线交于点G，连接．老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有哪些发现呢？
经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现．
时，．”（2）如图2，小莹发现：“当图形满足条件
时，．”老师肯定了两人结论的正确性，请你说明两人结论成立的理由．
【拓展应用】
（3）如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若
所在的直线互相垂直，且，就能求出的值．”老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明求出的值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形中，E是上的点，将
绕B点旋转，使
与
重合，此时点E的对应点F在
的延长线上，则四边形
为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，
，
，
，点B到直线的距离为
，求的长．
(1)如图1，正方形
中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形
是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为，求的长．
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中，
，
．
是过点
于
，
于
．
．
（如图2），其他条件不变，求证：
的延长线过
（如图3），连接
，求证：
．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】【问题提出】
（1）如图1，在四边形中，
，
，
，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，
，则
的长为________；
【问题探究】
（2）如图2，菱形的边长为8，且
，E是的中点，F为对角线
上一动点，连接
，求
周长的最小值；
【问题解决】
（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，
米，
米，
，并沿着对角线
修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成
和
两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿
修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，
米，且
与
的长度之和最小，请问
的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，在四边形
中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________；【问题探究】
（2）如图2，菱形
的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值；【问题解决】
（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形
所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
真题
名校
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，把矩形
沿对角线
所在的直线折叠，点
落在点
处，
与
轴相交于点
．矩形的边
，
的长是关于
的一元二次方程
的两个根，且
．
（1）求线段，的长；
（2）求证：
，并求出线段
的长；
（3）直接写出点的坐标；
（4）若
是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点
，使以点，
，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．（1）求线段
，的长；（2）求证：
，并求出线段的长；（3）直接写出点
的坐标；（4）若
是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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，
，点
的速度向终点
于点
交直线
与菱形
，点
．
重合时，
与
全等时，直接写出
关于
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】在正方形
中，点E在
的延长线上，且
，点F为
边上一点，连接
，作
交射线
于点G．
，若
，判断
的形状，并说明理由；[提示：连接
]
(2)如图2，若
，试探究线段
，
，
三者之间的数量关系，并证明你的结论．
中，点E在的延长线上，且，点F为边上一点，连接，作交射线于点G．
，若，判断的形状，并说明理由；[提示：连接](2)如图2，若
，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
真题
解题方法
【推荐2】在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=
∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：
= ，并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）
∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：
= ，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求
的值．（用含α的式子表示）
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，过点
的数量关系并加以证明；
交
，
，求
的长；
沿着
，如图3，连接
，求
的面积．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知在矩形ABCD中，tan∠DBC
，BC＝8，点E在射线OD上，连接EC，在射线BC上取点F，使得EF＝EC，射线EF与射线AC交于点P．
（1）如图，当点E在线段OD上（不包括O、D），求证：△CPF∽△BEC；
（2）在（1）的条件下，设CF＝x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）当
时，求OE的长．
，BC＝8，点E在射线OD上，连接EC，在射线BC上取点F，使得EF＝EC，射线EF与射线AC交于点P．（1）如图，当点E在线段OD上（不包括O、D），求证：△CPF∽△BEC；
（2）在（1）的条件下，设CF＝x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）当
时，求OE的长．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知：如图所示，在平面直角坐标系
中，四边形
是矩形，
，
，动点
从点
出发，沿射线
方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点
从点
出发，沿
轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点、点的运动时间为
（1）当
时，求经过点，，
三点的抛物线的解析式；
（2）当
时，求
的值；
（3）当线段
与线段相交于点
，且
时，求的值；
（4）连接
，当点，在运动过程中，记△
与矩形重叠部分的面积为
，求与
的函数关系式
中，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点、点的运动时间为（1）当
时，求经过点，，三点的抛物线的解析式；（2）当
时，求的值；（3）当线段
与线段相交于点，且时，求的值；（4）连接
，当点，在运动过程中，记△与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式
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，
，点
绕点
，交
．
的面积．
时，连接
、
，是否存在点
与
（或
）相似，若存在，求
