【推荐1】已知：如图，AD垂直平分BC，D为垂足，DM⊥AB，DN⊥AC，M、N分别为垂足．求证：DM=DN．

【推荐2】如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点(不含端点A，B)，连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G．

(1)求证：AE＝CG；
(2)若点E运动到线段BD上时(如图②)，试猜想AE，CG的数量关系是否发生变化，请证明你的结论；
(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M(如图③)，找出图中与BE相等的线段，直接写出答案BE=          

【推荐3】如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交于点H．

(1)求证：；
(2)满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．

【推荐1】已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．
   

【推荐2】如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

   

(1)求的长；
(2)若，求证：为的切线．

【推荐3】如图所示，半径为的内两条弦，垂直于点，求证：.

【推荐1】如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心、为半径的圆与相切于点B．

(1)求的度数；
(2)请用圆规和无刻度的直尺作的角平分线，交于点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(3)连接，判断是否是等边三角形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．

【推荐2】小明同学在研究如何在△ABC内做一个面积最大的正方形时，想到了可以利用位似知识解决这个问题，他的做法是：（如图1）先在△ABC内作一个小正方形DEFG，使得顶点D落在边AB上，顶点E、F落在边BC上，然后连接BG并延长交AC边于点H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，则正方形HIJK就是所作的面积最大的正方形．
   
（1）若△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，请求出小明所作的面积最大的正方形的边长．
（2）拓展运用：
如图2，已知∠BAC，在角的内部有一点P，请画一个⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB、AC都相切．（注：并简要说明画法）

【推荐2】如图，是的直径，，弦与交于点，延长至点，使．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

【推荐3】如图所示，中，点是上一点，且，以为直径⊙交于点，交 于点，且点是半圆的中点．
（）求证：与⊙相切．
（）若，，求的长度．