【推荐1】【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段，如图（1），四边形ABCD ，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．

(1)【实践操作】如图（2），在长方形ABCD中，AB<AD．若在AD边上存在点F，边AB 上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点，请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．(要求不写作法，保留作图痕迹．
(2)【思维探究】在上述的条件下，若AB=8，AD=10．请利用备用图求AE的长度．

【推荐2】如图，．
   
(1)用尺规作出的角平分线和线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)按下面要求画出图形：和交于点D，交于点E，连接并延长，交于点F；
(3)求证：．

【推荐3】已知扇形．（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(1)如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分；
(2)如图2，若扇形的面积被以O为圆心的平分，点C在上，点D在上，在图2上作出这条．

【推荐1】如图，是的直径，弦与直径相交于点，直线是的切线，点在外．

   

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．

【推荐2】如图，在矩形中，，，点M是边的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，在上以每秒5个单位的速度运动，在上以每秒4个单位的速度向终点D运动，连结，Q是的中点．点P的运动时间为．
   
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)当点P在上运动时，若是直角三角形，求t的值；
(3)当           时，取得最小值；
(4)当与的边平行或垂直时，直接写出t的值．

【推荐3】问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，AC＝3，则线段CH的长度为　     　．
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点F为CD边的中点，点E是BC边上的一点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，BC＝6，CD＝2，求线段EF的长．
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD，∠ABC＝60°，∠C＝90°，点M，N是BC边上的两点，连接AM，AN，BD，BD交AM于点E，交AN于点F．若∠MAN＝30°，BE＝4，DF＝6，求△AMN的面积．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为　 　；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．

【推荐2】如图，矩形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，BE与CD交于点G．

（1）求证：；
（2）求线段AP的长．

【推荐3】矩形中，，E为边的中点，P为边上的点，且是腰长为5的等腰三角形，请你画出图形，直接写出线段长．