【推荐2】如图，直线与直线分别交于点与互补．

（1）如图1．求证：
（2）如图1，的角平分线交于点与交于点，点是上一点，且，求证：
（3）如图2，在（2）的条件下，连接是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化?若不变，请求出其值，若变化，说明理由．

【推荐3】如图，，定点E，F分别在直线上，在平行线之间有一动点P，满足．

(1)试问满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：
如图1，当P点在的左侧时，满足数量关系为 　 　，
如图2，当P点在的右侧时，满足数量关系为 　 　．
(2)如图3，分别平分和，且点P在左侧．
①若，则 　 　．
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
(3)【拓展应用】如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的角平分线与的角平分线所在直线交于点Q，则＝ 　 　°．

【推荐1】如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向点运动．当点不与点重合时，作交边于点，当点和点重合时，点停止运动，以为直角边向右作等腰，使，设点的运动时间为秒．
   
(1)线段的长为________（用含的代数式表示）；
(2)当点落在边上时，求线段的长；
(3)连接，当与相似时，求的值．

【推荐2】如图，正方形ABCD的边长是，点P是对角线AC上的一个点（不与A，C两点重合），连接BP，并将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP′，连接PP′，CP′，PP′与BC相交于点E．

（1）求证：△BAP≌△BCP′；
（2）探究：线段PA，PC，PB之间满足什么数量关系，请写出结论并证明；
（3）若PA＜PC，当PB＝时， 求BE的长．

【推荐3】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线相交于点.
   
(1)求直线的解析式；
(2)连接，点M为x轴上一点，点N在线段上（不与点O重合）.当，且为等腰三角形时，直接写出点M的横坐标.

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点，作直线，交轴于点．

(1)点的坐标为_________；求直线的表达式；
(2)若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】（1）【发现】如图1，在中，分别交于，交于．已知，，，求的值．
思考发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：的值为______．
（2）【应用】如图3，在四边形中，，与不平行且，对角线，垂足为．若，，，求的长．
（3）【拓展】如图4，已知平行四边形和矩形，与交于点，，且，，判断与的数量关系并证明．

【推荐1】如图，已知在四边形中，，以为直径的交于点，(点在点上方)，连结，，，与交于点．

（1）求证：；
（2）若，，．
①求的长；
②求．

【推荐2】如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合）．连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，＝K．
①求证：Rt△BFG∽Rt△DEA；
②连结BE、DF，设∠EDF＝，∠EBF＝，求证：tan＝Ktan．
③设正方形ABCD的边长为1，线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积为S₁和S₂，求的最大值．