【推荐1】如图，点在等边三角形的边上，点在的延长线上，，交于点，．
   
(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，O为BC中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，设AM的长为x，CN的长为y，且x、y满足等式（a＞0）

（1）求证：BM=AN；
（2）请你判断△OMN的形状，并证明你的结论；
（3）求证：当OM∥AC时，无论a取何正数，△OMN与△ABC面积的比总是定值．

【推荐1】【实践操作】
在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边上（如图①所示），当点P与点A重合时，；当E与点A重合时，；
​【初步思考】
当点E在上，点F在上时（如图②所示），求证：四边形为菱形；
【深入探究】
当点P落在矩形的内部（如图③所示），且点E、F分别在边上时，则的最小值为             ；
【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在上，线段与线段交于点M，，则线段的长为             ．

【推荐2】如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接.求证：四边形是菱形.

【推荐3】下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程．
已知：等腰，．
求作：点C，使得四边形ABCD为菱形．

作法：①作的角平分线，交线段于点O；
②以点O为圆心，长为半径圆弧，交的延长线于点C；
③连接，所以四边形为菱形，点C即为所求．
根据小张同学设计的作图过程．
(1)使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵，平分，
∴，，（             ）（填推理的依据）
∵，，
∴四边形为平行四边形（             ）（填推理的依据）
∵，
∴四边形为菱形（             ）（填推理的依据）

【推荐1】已知：如图，在中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若平分，，，求四边形的周长．

【推荐2】如图1，两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝60°，AC＝1，固定△ABC，将△DEF沿线段AB向右平移（即点D在线段AB上），回答下列问题：

（1）如图2，连结CF，四边形ADFC一定是　 　形．
（2）连接DC，CF，FB，得到四边形CDBF．
①如图3，当点D移动到AB的中点时，四边形CDBF是　 　形．其理由?
②在△DEF移动过程中，四边形CDBF的形状在不断改变，但它的面积不变化，其面积为　 　．

【推荐3】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，请你先补全图形，再求出当AB＝，BD＝2时，OE的长．

【推荐1】如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是线段延长线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得，射线交线段的延长线于点，交于点，．

（1）找出与相等的角，并说明理由；
（2）若，求的值；
（3）如图2，若点是直线上一点，连接，且，求周长的最小值．

【推荐2】如图，点F在的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC＋∠FCB．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．

【推荐3】如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.
   
(1)若，求的长度；
(2)若，求．