【推荐1】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

如图，中，，O为的中点．
求证．
证法1：延长到点D，使，连接．
∵O为的中点，
∴_________（依据是_________）．
∵，
∴垂直平分．
∴_________．
∴．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

【推荐2】如图，在坡角为28°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米，落在广告牌上的影子CD的长为6米，求铁塔AB的高．（AB、CD均与水平面垂直，结果保留一位小数，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88）

【推荐3】图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．

(1)填空：______，点的坐标是（______，______）；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)动点从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒．
①当时，的面积是______．
②在点，运动过程中，当时请直接写出此时的值______．

【推荐1】如图，内接于，的延长线交于点，交于点，过点作交于点，连接，．
   
(1)若，求证：；
(2)求证：点到的距离等于的长．

【推荐2】如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．

   

(1)求证：；
(2)如果的半径为5，，求的长．

【推荐3】如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．

(1)求证：是的切线；
(2)若时，求阴影部分的面积．

【推荐1】已知线段是⊙的直径，，点A为上一点，平分交于点D．

   

(1)如图1，过点D作，求证：是的切线；
(2)如图2，连接，，若，，求．

【推荐2】如图，是的直径，点A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接，，，且．
   
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，作的平分线交于点P，交于点E，连接、，若，求的值．

【推荐3】如图，AB是的直径，点C是上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．

(1)求证：直线PQ是的切线．
(2)过点A作AD⊥PQ于点D，交于点E，若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．

【推荐1】【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　．
   
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

【推荐2】如图，在正方形中，E是上一点，连接．过点A作，垂足为F，经过点C、D、F，与相交于点G．

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为1，，求的半径．
(3)若，，求y关于x的函数关系式．