【问题情境】数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．

【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：∵，∴．
∵，∴．
∵四边形是矩形，∴．
∴          ．（平行线分线段成比例）
∵，∴．∴．
即是的边上的中线，
又∵，
∴      ．（等腰三角形的“三线合一”）
∴垂直平分．
【反思交流】
(1)请将上述证明过程补充完整；
(2)小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；

(3)【拓展应用】如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接．若，请直接写出的值．