【推荐1】抛物线经过点和，与轴交于另一点．

(1)则抛物线的解析式为______；顶点坐标为______．
(2)如图1，连接，将直线沿折叠交抛物线于点，求点坐标；
(3)如图2，为抛物线上任意一点，连接，将沿轴折叠交抛物线于点，连接，过点作轴的平行线交于点，求的值．

【推荐2】如图，抛物线经过原点O和点，且与x轴交于点，顶点为C．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若P在y轴右侧的抛物线上，过点P作轴，垂足为Q，是否存在点P，使得以P、Q、A为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且xD=−4xA．
（1）求出点A的坐标和直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【推荐1】在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x,CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

【推荐2】若三个非零实数中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数三构成“雅境三元数”．
(1)实数可以构成“雅境三元数”吗？请说明理由；
(2)若M₁(，)，M₂(，)，M₃(，)三点均在函数（为常数且）的图象上且这三点的纵坐标，，构成“雅境三元数”，求实数的值；
(3)设非负实数是“雅境三元数”且满足，其中是关于的一元二次方程的两个根，若过点A的二次函数同时满足以下两个条件：①；②当时，函数的最小值等于．求二次函数解析式．

【推荐3】如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
①试用含m的代数式表示PN的长；
②m为何值时△ABN面积最大，并求△ABN的最大值．

【推荐1】如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度是；同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度是．当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．连接，，，设运动时间为，解答下列问题：

(1)当为何值时，？
(2)设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使的面积为四边形面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
(4)连接，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出此时的值：若不存在，说明理由．

【推荐3】如图1，在正方形ABCD中，，点O、E在边CD上，且，，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD延长线于点F．

（1）________．
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转，点O的对应点为，点F对应点为，当半圆交BC于P、R两点时，若弧PR的长为，求此时半圆与正方形ABCD重叠部分的面积．
（3）当半圆与正方形ABCD相切时，设切点为N，直接写出的值．

【推荐1】小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在中，的平分线交于点，

发现．小明想通过证明来验证这个结论．证明：延长至，使得，

请你完成上述证明过程：

结论应用

已知在中，，，边上有一动点，连结，点关于的对称点为点，连结交于点．

(1)请你完成发现中的证明过程；
(2)如图2当，，求的值；
(3)如图3当，与的边垂直时，求的值．

【推荐2】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，以点O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F．

思考：连接OF，若OF⊥AC，求AF的长度；
探究：如图2，若O是AC的中点，将线段CD连同半圆O绕点C旋转．
（1）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；
（2）若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，连接AK，求AK的长．

【推荐3】如图，是半圆O的直径，C是的中点，过点C作弦的垂线，垂足为E．

(1)求证：；
(2)若，求的长．