【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，点两点，与y轴交于点C
   
求抛物线的解析式：
若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．
求的面积S关于t的函数关系式．
求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax²﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C₁与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C₂与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C₃与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C₃与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．

【推荐3】抛物线y＝ax²+2x+c与x轴交于点A(﹣2，0)和点B，与y轴交于点C(0，6)，点D(m，0)是x轴上一点，过点D作直线DF⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接BF，当tan∠FBC＝时，求出点E的坐标；
(3)当△CEF是等腰三角形时，请直接写出点F的坐标．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象经过点，点是抛物线上一点不与点重合，其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，求的取值范围；
(3)当矩形内部的图象包括边界的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
(4)设点的纵坐标为，当该抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍时，直接写出的取值范围．

【推荐2】如图①，已知点M，O，N在同一直线上，，分别是与的平分线，，，垂足分别为B，C，连接交于点E．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）猜想与的位置关系，并证明你的结论：
（3）如图②，以为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，点在反比例函数的图象上，矩形中有两个点恰好落在该反比例函数图象上，分别求出点B，点C的坐标．

【推荐3】已知点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，线段的长是方程的解，．
   
（1）求点的坐标；
（2）点在轴负半轴上，直线，交线段于点，交轴于点，．若反比例函数的图象经过点，求的值；
（3）在（2）条件下，点是中点，点，，在直线或轴上，是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E．

   

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标；
(3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标．

【推荐3】如图，抛物线与直线交于A、B两点.点A的横坐标为－3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，；
（3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐1】如图，直线y＝﹣x+2交坐标轴于A、B两点，直线AC⊥AB交x轴于点C，抛物线恰好过点A、B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点M在线段AB上方的曲线上移动时，求四边形AOBM的面积的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，是否存在点F使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出点F坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】抛物线y=ax²+c与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P
（1）若A（﹣2，0），C（0，﹣4）
①求抛物线的解析式；
②在①的情况下，若点P在第四象限运动，点D（0，﹣2），以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形BDQP面积的取值范围．
（2）若点P在第一象限运动，且a＜0，连接AP、BP分别交y轴于点E、F，则问 是否与a，c有关？若有关，用a，c表示该比值；若无关，求出该比值．