如图，某数学兴趣小组通过“画板”探究一个图形，
，
为
两边上的动点，分别作
和
的平分线交于点
，作
和
的平分线交于点
．经小组成员交流后，证明了点，，，在同一个圆上．
在进一步探究时，动态调整点，的位置，成员小敏发现，无论
（图①），还是
（图②），点，，，所在的圆均明显与的两边有四个交点，只有当
时（图③），点，，，所在的圆可能与的两边仅各有一个交点．于是，小敏猜想：当时（图③），点，，，所在的圆与的两边相切．
请你判断这个猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由．
，为两边上的动点，分别作和的平分线交于点，作和的平分线交于点．经小组成员交流后，证明了点，，，在同一个圆上．在进一步探究时，动态调整点
，的位置，成员小敏发现，无论（图①），还是（图②），点，，，所在的圆均明显与的两边有四个交点，只有当时（图③），点，，，所在的圆可能与的两边仅各有一个交点．于是，小敏猜想：当时（图③），点，，，所在的圆与的两边相切．请你判断这个猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由．
更新时间：2022-06-19 14:22:32
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【推荐1】（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD的长为
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
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【推荐2】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．
(1)求证：∠AEB＝∠AFD．
(2)若AB＝10，BF＝5，求AD的长．
(3)若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．
(1)求证：∠AEB＝∠AFD．
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(3)若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．
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的直径，CD是
于点E．
，求
的度数；
，
，求
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【推荐1】如图，AB是
的直径，点D，E在上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得
．
(1)求证：AC是的切线；
(2)若点E是
的中点，AE与BC交于点F；
①求证：
；
②当
，
时，请直接写出BF的长为______．
的直径，点D，E在上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得．(1)求证：AC是
的切线；(2)若点E是
的中点，AE与BC交于点F；①求证：
；②当
，时，请直接写出BF的长为______．
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【推荐2】如图，已知是
的外接圆，
，是圆上一点，是
延长线上一点，连结
，
，且
，
．是的切线；
(2)若
，的半径为
，求的长．
是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，．
是的切线；(2)若
，的半径为，求的长．
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一点，且BE=CF，
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【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交
于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
(1)求证：∠ADE=∠FBD；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF=1，BF=2，求BD的长度．
于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．(1)求证：∠ADE=∠FBD；
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【推荐2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AE=FE时，求
的长（结果保留π）；
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中，
，以
，交
是
，
，求
