【推荐3】如图，点P是□ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
(1)当点P与点O重合时如图1，线段OE与线段OF的数量关系是______．

(2)如图2，点P在OC上运动时（不与点O与C重合），（1）中的结论是否成立？
(3)点P在OC的延长线上运动时，当∠OFE=60°时，如图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

【推荐1】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．

【推荐2】如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值．

【推荐3】如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.

（1）求证：AE＝3EB
（2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE＋PF的最小值及此时BP的长；
（3）在（2）的条件下，连接EF，当PE＋PF取最小值时，△PEF的面积是______.

【推荐1】在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴、y轴上，O为坐标原点，且OA=8，OC=4，连接AC，将矩形OABC对折，使点A与点C重合，折痕ED交BC于点D，交OA于点E，连接AD，如图①.

(1)求点D的坐标和AD所在直线的函数关系式；
(2)⊙M的圆心M始终在直线AC上（点A除外），且⊙M始终与x轴相切，如图②.
①求证：⊙M与直线AD相切；
②圆心M在直线AC上运动，在运动过程中，能否与y轴也相切？如果能相切，求出此时⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切时的圆心M的坐标；如果不能相切，请说明理由.

【推荐2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

【推荐3】如图，以的直角边为直径作⊙O，交斜边于点A，于点D，点F是的中点，连接与相交于点G，延长与的延长线相交于点P．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)求证：点G为的中点；
(3)若，且⊙O的半径长为3，求的长度．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，以（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切于原点O，过点A（－1，0）的直线AB与⊙P相切于点B．
（1）求AB的长．
（2）求AB、OA与所围成的阴影部分面积．
（3）求直线AB的解析式．

【推荐2】如图，是的外接圆，，点D是的中点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点E，连接并延长与的延长线交于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【推荐3】如图1，已知⊙O与△ABC的边BC、AC分别相切于点D、E，BO是∠ABC的平分线，与⊙O相交于点G．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2，如图2，点F是AB与⊙O的切点，连接OF、FG、DG，若OFDG．
①求证：四边形OFGD是菱形；
②求阴影部分的面积．