【推荐1】如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
   
【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证∶△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．
【深入探究】如图③，ADBC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长．

【推荐2】如图1，在矩形中，点M是的中点，点E是边上一动点，连接，并延长交射线于点F，过点M作的垂线交射线于点G，连接和．

(1)求证：
①；
②；
(2)在点E的运动过程中，探究：
①若矩形是正方形，则的值是否发生变化？若不变，求出这个值；
②如图2，若，，，当为等边三角形时，求k的值．

【推荐3】（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：．

（2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值．
（3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长．

【推荐1】如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，在中，，，，、分别是，的中点，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．同时，动点从点出发，沿折线向终点运动，在，上的速度分别是每秒个单位长度和个单位长度，连接，以、为边作．设与四边形重叠部分图形的面积是（平方单位），点的运动时间为．

(1)当点在上运动时，的长为              （用含t的代数式表示）；
(2)当是菱形时，求的值；
(3)当时，求与之间的函数关系式．

【推荐3】四边形中，点、、、分别是边、、、的中点．
   
(1)如图1，顺次连结、、、得到四边形，试猜想四边形的形状并证明；
(2)如图2，若，，顺次连结、、、得到四边形，试猜想四边形的形状并证明；
(3)如图3，延长、交于点，在上取一点，使得，若是的中点，，，则_______．

【推荐1】在矩形中，，为上一点，将沿折叠，得到．
   
(1)如图（1），若点恰好在边上，点在上，且，连接．求证：；
(2)如图（2），若点在矩形内部，延长交边于点，延长交边于点，且，，求证：．

【推荐2】已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根：
（2）当时，设原方程的两个根分别为，且
①设，当时，求y的取值范围：
②设点，是平面直角坐标系中的两点，若，试探究OA与OB的数量关系，并说明理由．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，与轴交于点，连接，．

   

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求周长的最大值；
(3)点为抛物线上的一动点，是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°.
   
(1)求∠AOC的度数.
(2)若弦BC=8cm，求图中劣弧BC的长.

【推荐3】如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．