【推荐1】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线与直线BC交于点．

(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；
(2)在抛物线对称轴上求一点P的坐标，使△ABP的周长最小；
(3)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为．
   
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接，求面积的最大值；
②加图3，连接，将线段绕O点顺时针旋转，得到线段，过点E作轴交直线于F．求线段的最大值及此时点D的坐标．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标是，点为边上的一动点（不与点重合），连接，过点作直线，交于点，在直线上取一点（点在点右侧），使得，过点作，交于点，连接，设．
   
（1）填空：点的坐标为______（用含的代数式表示）；
（2）判断线段的长度是否随点的位置的变化而变化？并说明理由；
（3）①当为何值时，四边形的面积最小，请求出最小值；
②在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点的坐标（用含的代数式表示）．

【推荐3】如图1，在中，，是上一点（不与点，重合），过点作于点，连接并延长交的外接圆于点，连接，，．
     
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)如图2，，．
①若，求的长．
②求的最大值．

【推荐1】【教材呈现】图是华师版九年级上数学教材第77页的部分内容：
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DE=BC．请用演绎推理给出证明．

（1）如图①，在矩形ABCD中，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，顺次连结M、N、P、Q．求证：四边形MNPQ是菱形．
（2）如图②，在△ABC中，F是BC边中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=60°，则FE的长为         ．

【推荐3】如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．
   

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点、，交轴于点．
   
(1)求点的坐标；
(2)点是第一象限抛物线上的一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当时，点在抛物线上，且横坐标为，连接交轴于点，连接交线段于点，点为线段的中点，连接，，若，求的值．