【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax²﹣2x+c与x轴交于点A(1，0)，点B(﹣3，0)，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BC，BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，求满足条件的点H的坐标．

【推荐3】某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克．请回答：
（1）若该专卖店单价降10元，此时每天的销售量为______千克；
（2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（3）该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是多少？此时应降价多少元？

【推荐1】如图，抛物线经过点A（ ，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且 ，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．

(1)求抛物线及直线BC的函数表达式；
(2)点F是抛物线对称轴上一点，当 的值最小时，求出点F的坐标及的最小值．

【推荐2】抛物线与直线交于原点和点， 与轴交于另一点， 顶点为．

(1)填空： 点的坐标为___________， 点的坐标为___________．
(2)如图1 ， 连结为轴上的动点， 当以为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点的坐标；
(3)如图2， 是点关于拋物线对称轴的对称点， 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 ， 连结与直线交于点． 设和的面积分别为和， 设， 试求关于的函数解析式并求出的最值．

【推荐3】定义为函数的特征数，如函数的特征数是，韩束同学在研究特征数为的函数时做了如下几步，完成下列问题：
（1）函数的特征数是______；
（2）当时，函数图象的顶点坐标是______；
（3）当时，函数图象截轴所得的线段长度为______；
（4）当时，函数在时，随增大而______；
（5）韩束同学发现，无论为何值时，函数图象都经过相同的点，请找到这些点并证明.

【推荐1】如图，抛物线与轴相交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴相交于点C，连接，．
       
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为；
①若点P在直线的下方，当四边形的面积最大时，求m的值；
②过点P作与x轴相交于点E，当以点A，C，P，E为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

【推荐3】如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点；抛物线过，两点，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一动点，求出点到直线的距离的最大值；
（3）如图②，直线与抛物线的对称轴相交于点，请直接写出的平分线与轴的交点的坐标．

【推荐1】已知抛物线，直线，其中，．
(1)求证：直线l与抛物线C至少有一个交点；
(2)若抛物线C与x轴交于，两点，其中，且，求当时，抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点；
(3)若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m>0）与x轴的交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）．
(1)求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
(2)若AB=2，求此抛物线的解析式；
(3)已知x轴上两点C(2，0)，D(5，0)，若抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m>0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

【推荐3】已知二次函数（为常数）．

(1)求二次函数图象的对称轴（用含的代数式表示）；
(2)当时，若时，，求的取值范围；
(3)当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．