【推荐1】如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求面积S的最大值；
（3）在抛物线上找一点M，连接AM，使得，请直接写出点M的坐标．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．

   

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

【推荐3】如图,二次函数的图像交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为，顶点的坐标为，连接．

(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；
(2)点是直线上的一个动点（不与B、C重合），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，交x轴于点P.
①如图1，求线段长度的最大值；
②如图2，连接.试问：抛物线上是否存在点Q,使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐2】已知二次函数，其中a＞0．
（1）若方程有两个实根，且方程有两个相等的实根，求二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于两点，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P₁、Q₁，求四边形PQQ₁P₁面积的最大值；
（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S_△AOF=S_△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且其对称轴为直线，点是抛物线上，之间的一个动点（点不与点，重合）．

(1)求抛物线的解析式：
(2)求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)将抛物线向上平移个单位长度得到新的抛物线，新的抛物线与直线有两个交点．求的取值范围．

【推荐3】如图1，抛物线y=ax²-11ax+24a（a＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）求线段OC的长和点B的坐标；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，折垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求这个最大值；
（4）在（3）的条件下，当取得最大值时，四边形ADNM是否为平行四边形？直接回答        （是或不是）．如果不是，请直接写出此时的点M的坐标．

【推荐1】如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标；
(3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由．

【推荐2】综合与探究在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值．
（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．