【推荐1】如图①在中；、分别是边、的中点，、相交于点．
   
(1)结论应用：连接，结合图①，求证：．
(2)在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点、交于点．如图②，若平行四边形为菱形，，且，求的长．
(3)如图③，连接交于点，若四边形的面积为，求平行四边形的面积．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于、C两点，直线与x轴、y轴交于B、C两点．

(1)求m的值及点B的坐标；
(2)如图2，将直线沿x轴正方向平移个单位长度得到直线MN，交x轴于M，交AC于N，求N点坐标及△AMN的面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，动点Q在AC直线上，在y轴上是否存在点P，使以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在下列所给定的网格中完成画图．

(1)在图1中，，，三点是格点，是经过，，的圆上一点，请画出的中点，再在上画点，使；
(2)在图2中，，都在格点上，为经过，的圆上一点，请先画出该圆的圆心，再在上画点，使得．

【推荐2】问题提出
如图1，点A为线段BC外一动点，且，填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最大值，且最大值为______用含的式子表示．
问题探究
点A为线段BC外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
问题解决：
如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段AB外一动点，且，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
如图4，在四边形ABCD中，，若对角线于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
         

【推荐3】在中，，，为平面内的一点．

(1)如图1，当点在边上时，，且，求的长；
(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；
(3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．

【推荐1】如图在△ABC中，CD⊥AB， AB = 6，AD = 2，CD = 4，点E为边BC的中点．动点P从点A出发，以cm/s的速度沿边AB向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，连结PE，以PE、PQ为边作平行四边形PQFE．设点P的运动时间为t（s）．
（1）______________．
（2）用含t的代数式表示线段CQ的长度．
（3）当∠EPQ为锐角时，求t的取值范围．
（4）当△ABC的角平分线CM恰好可以将平行四边形PQFE的面积等分时，求t的值．

【推荐2】如图，是的直径，，连结，过点作直线，点是直线上的一个动点，直线与交于另一点，连结，设直线与直线交于点．

（1）求的度数；
（2）当点在上方，且时，求证：；
（3）在点的运动过程中
①当点在线段的中垂线上或点在线段的中垂线上时，求出所有满足条件的的度数；
②设的半径为6，点到直线的距离为3，连结，，直接写出的面积．

【推荐3】定义：两直角边比为1：2的直角三角形叫做和合三角形．     

（1）如图1，△ABC中，∠C= ，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于点D，说明△ACD是和合三角形；       
（2）如图2，和合△ABC中，∠C= ，AC= ，点D是边AB中点，点E是边AC上一动点，在直线DE下方构造矩形DEFG，使直线FG始终经过BC中点M，已知△ABC面积为4，求矩形DEFG的面积；       
（3）如图3，扇形OAB中，∠AOB= ，OA=2．以点O为原点，OA，OB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点P是 一动点，点Q是直线y=3上一动点，当△OPQ是和合三角形时，求点P坐标．

【推荐1】如图，在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作的角平分线交边于点，连接并延长交射线于点，连接．

                                   图1                                                                         备用图
(1)依题意补全图1，求的大小；
(2)写出线段与的数量关系，并证明；
(3)连接，点是的中点，，直接写出线段的最小值．

【推荐2】【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

   

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，若点P为第四象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标；
(3)过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作轴于点E得到矩形，将沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t，与矩形重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．