【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点、，点A关于x轴对称点为F，连接BF，作，连接DO交BF延长线于点C．

（1）①直接写出点F的坐标            ；
②证明：≌；
（2）动点P从F出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到B点停止运动；动点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿，到F停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止运动．过点P作于点G，过点Q作于点H，问：当P点运动多少时间时，与全等？

【推荐2】【探究与证明】
数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．
【问题情境】
如图1，在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转得到线段 ，过点E作 交直线与点F．   

【猜想证明】
（1）当时，四边形的形状为__________；(直接写出答案)
（2）如图2，当时，连接， 求此时的面积．
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，存在θ，使点三点共线，请直接写出的长度．

【推荐3】如图，已知在△ABC中，，于F，点G为BC的中点，E为AB上的点，GE的延长线与CF的延长线相交于D，若，，则.请说明理由.

【推荐1】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．

(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______．
A．平行四边形       B．矩形       C．菱形       D．正方形
(2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点．
①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由；
②如图2，连接，求的周长；
③若四边形是“等补四边形”，求的长．

【推荐3】在等腰中，．

(1)如图1，当点为中点时，过点作的垂线交于点，若，，求的长；
(2)如图2，，、分别为、边上的点，且，连接交于点，若为的中点，连接、，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点，使，当最短时，请直接写出的值．

【推荐1】实践操作
在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点落在矩形的边上（如图①）．

①当点与点重合时，       ；当点与点重合时，       ；
②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．

深入探究
（2）若点落在矩形的内部（如图③），且点、分别在、边上，请直接写出的最小值．

拓展延伸
（3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．

【推荐2】【观察思考】
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图.其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动.在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米.

【解决问题】
(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米.
(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？

(3)①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小.”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是_________分米；
②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.

【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G,
（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；
（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．
   

【推荐3】数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点与点重合，过点作，与交于点，连接，则四边形是______（填菱形，矩形，正方形）
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点为的中点时，延长交于点，连接．试判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图，当点恰好落在边上时，，，，求的长．