【推荐1】在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，且的长是方程的两个根，过点B作点轴，且与x轴的夹角为度．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点C运动，动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点P，Q同时出发，当其中一个点到点C后同时停止运动，设运动的时间为t秒．
   
(1)求点C的坐标；
(2)设的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x²﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．

（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x

1．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
2．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
3．（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．

【推荐1】【问题情境】
已知矩形的面积为（为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为，周长为，则与的函数表达式为．
【探索研究】
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
（1）结合问题情境，函数的自变量的取值范围是，
下表是与的几组对应值．

					1	2	3
					2

①______；
②画出该函数图象，结合图象，得出当_____时，有最小值，______；
【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

【推荐2】已知函数y=-x+4的图象与函数的图象在同一坐标系内．函数y=-x+4的图象如图1与坐标轴交于A、B两点，点M（2，m）是直线AB上一点，点N与点M关于y轴对称，线段MN交y轴于点C．
（1）m=______，S_△AOB=______；
（2）如果线段MN被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求k的值；
（3）如图2，若反比例函数图象经过点N，此时反比例函数上存在两个点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）关于原点对称且到直线MN的距离之比为1：3，若x₁＜x₂请直接写出这两点的坐标．

【推荐3】如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图像上，OA＝6，OC＝4，动点P在y轴的右侧，且满足S_△PCO＝S_矩形OABC．

(1)若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
(2)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【推荐2】如图，是等边三角形，⊙O过点B,C，且与的延长线分别交于点D,E．弦∥，的延长线交的延长线于点G．

（1）求证：是等边三角形；
（2）若，，求的长．

【推荐3】如图1，直线AB：y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），作PC⊥AB于点C，连接BP并延长，作AD⊥BP于点D．

（1）求tan∠BAO的值；
（2）当△BOP与△ABD相似时，求出点P的坐标；
（3）如图2，连接OC，当点P在线段OA上运动时，问：的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．

【推荐1】在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
①求证：＝；
②若CE＝1且AE＝DE+2CE，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm．点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）
（1）如图1，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为　 　
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由．