【推荐1】【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边内的一点，连接、、．当，，时，求的度数．
【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，连接、、，并结合已知条件证得．
请利用小明的作法及结论求的度数．
【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、、．若，，，则______°．

【推荐3】已知如图，是的角平分线，且于点．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，，连接，，的面积是的面积的，求的长．

【推荐1】四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．G为DF的中点，连接EG，CG ，EC．
（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针方向旋转至图2所示位置，在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中的△BEF，绕点B顺时针旋转（0°＜＜90°），若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，求DF的长．

【推荐2】【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

(1)【问题发现】如图1，点为线段的黄金分割点，且，若，请直接写出的值是__________．
(2)【问题探究】如图2，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为__________．
(3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点．

【推荐3】如图，在矩形中，E是上一点，于点F，设．

(1)若，求证：；
(2)若，，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．

【推荐1】如图，在正方形中，在边上（不与点，重合），交对角线于点，交于点，连接．
   
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)如图，以，为邻边作矩形，连接，若正方形的边长为9，，求的长．
   

【推荐2】(1)【初步感知】如图1，在正方形中，，点是对角线上任意一点(不与重合)，点是的中点，连接，过点作交直线于点．当点与点重合时，比较：______________(选填“>”、“<”或“=”)．
【再次感知】如图1，当点在线段上时，如何判断和数量关系呢？
甲同学通过过点分别向和作垂线，构造全等三角形，证明出；乙同学通过连接，证明出，从而证明出．
(2)【联想感悟】如图2，当点落在线段上时，判断和的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，连接，并延长交直线于点．
①若，求的长；
②若的面积是，则的长为______________；
③直接写出面积的取值范围：______________．

【推荐3】已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N．
（1）求证：△ADM≌△FNM；
（2）判断△DEM的形状，并加以证明；
（3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，分别交AB、AF的延长线于点C、D．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，，求BC的长．