【推荐1】已知：如图，抛物线经过原点和点，两点．
   
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值．

【推荐2】如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、、、．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
(3)过点作直线与抛物线在轴上方的部分交于、两点．过点作轴交于点，过点作轴交于点，问是否为定值？若是请求出其值，若不是请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，中，，，D，E分别是直线，边上的点，直线，交于点F．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若，求的值；
(3)如图3，若，，求的值．

【推荐2】菱形中，，，垂足分别为点、.

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，交于点，交于点，连接，若，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中的四条线段（不包括线段），使每条线段的长度都等于线段的长度.

【推荐3】如图，已知中，，，点D在边AB上，．

(1)求的值．
(2)在图中求作向量：在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x²＋bx＋c经过A、C两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；
(3)在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x²＋bx＋c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，、为该抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．当点不在轴上时，过点作轴的垂线交轴于点，以、为边作平行四边形，将平行四边形向轴正方向平移1个单位长度得到平行四边形（点、、、的对应点分别为点、、、）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当平行四边形是矩形时，求的值；
(3)当轴将平行四边形分成面积相等的两部分图形时，求平行四边形的面积；
(4)当抛物线在轴右侧的部分与平行四边形有两个公共点，且右公共点与左公共点的横坐标之差小于1时，直接写出的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D.点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.
（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当的周长最小时，求面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，当的面积最大时，过点E作轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N，再将点N向上平移个单位长度.得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形.若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.