【推荐1】感知：如图1，在正方形中，点为边上一点（点不与点，重合），连接，过点作，交于点．
   
(1)直接写出与的数量关系；
(2)探究：如图2，过点作，并截取，连接，求证：；
(3)应用：如图3，在（2）的条件下，连接，并取的中点，连接，，若，，求的面积．

【推荐2】如图，四边形、都是正方形，是的中点，连接、．

(1)当、、三点共线时，求证：，且．
(2)当、、三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．

【推荐3】如图（1），把两个大小完全相同的矩形和拼成“L”形图案，若，，连接、．

(1)线段和线段的数量关系为________．（填空）
(2)保持矩形不动的条件下，将矩形绕点按顺时针方向旋转．
①如图（2），第（1）问的结论是否仍然成立；若成立，证明之；若不成立，说明理由；

②如图（3），直线与相交于点，连接，当时，求的长度．

【推荐1】如图，在四边形中，．

(1)在图（1）中连接，并证明平分；
(2)如图（2），连接对角线，若，的面积为3，求的长；
(3)如图（3），点在的延长线上，且满足，点是线段的中点，连接，探究与的关系并说明理由．

【推荐1】综合与实践：

(1)如图，已知在中，，点为边的中点，连接，则与的数量关系是____________；
(2)如图，在边长为的等边中，点为边的中点，如果在平面内有一点，且点到点的距离为，则线段长度的取值范围是____________；
(3)如图是某公园“牡丹风景区”的设计示意图，已知四边形为矩形，．为提升游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路，要求．若小路铺设费用为元，求该风景区铺设赏花小路的最少费用（小路宽度不计，取）．

【推荐2】如图1，已知是的直径，点C为的中点，点D为上一点（不与重合）．连结，，，过点A作，交直线于点E．

(1)当点D在上时，
①求的度数．
②若，，求的值．
(2)如图2，记，作点D关于直径的对称点F，连结，．若为等腰三角形，请直接写出的值（用含a的代数式表示）．