【推荐1】根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
   
(1)已知点A，B，C表示的数分别为1，，，观察数轴，A，B两点之间的距离为________．
(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2023（M在N的左侧），且当点A与点C重合时，点M与点N也恰好重合，则点M表示的数是________，点N表示的数是________．
(3)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q的左侧），表示数b的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当点P与点Q重合时，点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含a，b的式子表示）．

【推荐2】某学校有3位老师决定带领名学生去植物园游玩，有两家旅行社可供选择，甲旅行社的收费标准为老师全价，学生七折优惠；而乙旅行社不分老师和学生一律八折优惠，这两家旅行社全价都是每人500元．
(1)这3位老师和名学生在甲旅行社的总费用为______元，在乙旅行社的总费用为______元；（用含的代数式表示）
(2)若这3位老师带领8名学生，选择哪家旅行社更划算？
(3)若他们无论选择哪家旅行社付的钱是一样的，则这3位老师带了几名学生？

【推荐3】某商场销售西装每套定价1000元，领带每条定价200元．国庆节优惠方案如下：
方案一：买一套西装送一条领带：
方案二：西装和领带都按定价的90%付款，
(1)若小王到该商场购买西装20套，领带30条，通过计算按方案一购买需付款        元，方案二购买需付款        元；
(2)若小王到该商场购买西装20套，领节x条（x＞20），该客户按方案一购买需付款        元；该客户按方案二购买需付款        元（用含x的代数式表示）：
(3)若小王到该商场购买西装20套，领带30条，你能给小王设计出最省钱的购买方法吗？请直接写出你的购买方法并计算出此种方案的付款金额．

【推荐1】如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E．D，点G在AC上，∠GDC=∠EFB=25°，求∠ADG的度数．

【推荐2】在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、．

(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当于点时，求此时的值．

【推荐3】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠BAC=50°，∠ABC=60°，求∠EAD的度数．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点坐标为，点为轴上位于点上方的一个动点，以为边向的右侧作等边，并延长交轴于点．

(1)求证：；
(2)当点在运动时，的长度是否发生变化？请说明理由；
(3)在（）的条件下，在轴上是否存在点，使得为等腰三角形请求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．

(1)求证：
；
(2)与
有怎样的位置关系？请说明理由．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并证明．