【推荐1】已知：在矩形中，点都在上，且，连接．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接交于点，当，且时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的角．

【推荐2】长方形位于平面直角坐标系中平行移动．

（1）如图1，若轴且点的坐标，点的坐标为，在边上有动点，过点作直线交边于点，并使得．
①求长方形的面积．
②在直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由．
（2）如图2，若轴且、关于轴对称，连接、、，且平分，求证：．

【推荐3】如图，小红在学习了正方形相关知识后，对正方形进行了探究，在正方形的外侧作了直线．

(1)【动手操作】
点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．依题意在图①中补全图形；
(2)【问题解决】
在（1）的条件下，若，求的度数；
(3)【拓展延伸】
如图②，若，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与直线相交于点C（m，4）．

(1)则点A的坐标为      ，m的值为      ；
(2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始沿线段DA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，设点P的运动时间为t秒．
①若的面积为12，求t的值；
②是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，如正方形ABCD的边BC上有一点E，∠DAE的平分线交CD于点F，请问AE＝DF+BE是否成立？请说明理由．

【推荐3】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°.

（1）如图①，点D、E分别在线段AB、AC上. 请直接写出线段BD和CE的位置关系：           ；
（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转到如图②的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，取BC的中点F，连接AF，当点D落在线段BC上时，发现AD恰好平分∠BAF，此时在线段AB上取一点H，使BH=2DF，连接HD，猜想线段HD与BC的位置关系并证明.

【推荐1】如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…
   
(1)记正方形的边长为，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，求出的值．
(2)根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．并求出的值．

【推荐2】如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．

(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．

【推荐3】如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐1】如图，在矩形中，M，N分别是，的中点，P，Q分别是，的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）猜想：四边形是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想．

【推荐2】如图，平行四边形ABCD中，点分别是的中点，交于点O．
（1）证明：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若且，求证：．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．