平面直角坐标系中有正方形
，
为坐标原点，点
、
分别在
轴、
轴正半轴上，点
、
、
分别为边
、
、
上的点，
于
．
(1)如图1，若点与点重合，点坐标为
，
，求点坐标；
(2)如图2，若点与点重合，且为边的中点，求证：
；
(3)如图3，若点为线段
的中点，连接
交
于点
，连接
，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
，为坐标原点，点、分别在轴、轴正半轴上，点、、分别为边、、上的点，于．(1)如图1，若点
与点重合，点坐标为，，求点坐标；(2)如图2，若点
与点重合，且为边的中点，求证：；(3)如图3，若点
为线段的中点，连接交于点，连接，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
21-22八年级下·福建莆田·期中 查看更多[2]
更新时间：2022-08-28 18:08:31
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，直线
与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上运动，连接PB，将
沿直线BP折叠，点O的对应点记为
．
(1)若点恰好落在直线AB上，求OP的长；
(2)若Q是直线AB上的一个动点，当
的面积为10时，求Q的坐标；
(3)在x轴上是否存在点C，使得
为等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，说明理由；
(4)若C是
上的动点，当是以BC为底的等腰三角形，求出点C的坐标．
与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上运动，连接PB，将沿直线BP折叠，点O的对应点记为．(1)若点
恰好落在直线AB上，求OP的长；(2)若Q是直线AB上的一个动点，当
的面积为10时，求Q的坐标；(3)在x轴上是否存在点C，使得
为等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，说明理由；(4)若C是
上的动点，当是以BC为底的等腰三角形，求出点C的坐标．
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较难
(0.4)
【推荐2】【综合探究】
已知
在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边
在轴上且
，边在轴上且
，
平分
交于点
．
(1)请直接写出、两点的坐标： ， ．
(2)如图1，求点的坐标．
(3)过点作
交于点．如图2，求
面积．
(4)在平面内是否存在一点
，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
已知
在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上且，平分交于点． (1)请直接写出
、两点的坐标： ， ．(2)如图1，求点
的坐标．(3)过点
作交于点．如图2，求面积．(4)在平面内是否存在一点
，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】【发现】（1）如图①，点A为线段外一动点，且
，
．我们发现当点A位于线段
的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为______（用含有a，b的代数式表示）；
【探究】（2）如图②，点A为线段外一动点，分别以，为边向外作等边
和等边
，连接，
．求证：
；
【应用】（3）如图②，当
，
时，线段的最大值为______；
【拓展】（4）如图③，在平面直角坐标系中，点B的坐标
，点C的坐标
，点A为线段外一动点，且
，以，为边向外作等腰直角
和等腰直角
，且
，
，
，则线段
长的最大值为______．
外一动点，且，．我们发现当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为______（用含有a，b的代数式表示）；【探究】（2）如图②，点A为线段
外一动点，分别以，为边向外作等边和等边，连接，．求证：；【应用】（3）如图②，当
，时，线段的最大值为______；【拓展】（4）如图③，在平面直角坐标系中，点B的坐标
，点C的坐标，点A为线段外一动点，且，以，为边向外作等腰直角和等腰直角，且，，，则线段长的最大值为______．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，点是正方形
内一点，点到点
和的距离分别为
，
，
，
沿点旋转至
连接
，并延长
与相交于点．
（1）求证：
是等腰直角三角形，
（2）求
的大小．
是正方形内一点，点到点和的距离分别为，，，沿点旋转至连接，并延长与相交于点．（1）求证：
是等腰直角三角形，（2）求
的大小．
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较难
(0.4)
【推荐2】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．已知在正方形纸片中，是边上的点（不与点
重合），正方形的边长为9．
【操作发现】
（1）如图1，是边上一点，是边
上一点．以直线为对称轴把正方形折叠，的对应线段为
，其中点
在边
上，交边于点
，连接
，则线段与的关系为 ；
【实践探究】
（2）如图1，当
时，求折痕的长；
（3）如图2，连接
，交于点
，连接
，则与
的数量关系是 ．
中，是边上的点（不与点重合），正方形的边长为9． 【操作发现】
（1）如图1，
是边上一点，是边上一点．以直线为对称轴把正方形折叠，的对应线段为，其中点在边上，交边于点，连接，则线段与的关系为 ；【实践探究】
（2）如图1，当
时，求折痕的长；（3）如图2，连接
，交于点，连接，则与的数量关系是 ．
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中，
，
，
，点
，设
的面积为
的正弦值；
，当
是等腰三角形时，求
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，在直角梯形中，
，
，
交于点，点、分别为
、的中点，连接
、
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）当点是的中点时，求证：四边形是菱形．
中，，，交于点，点、分别为、的中点，连接、．（1）求证：四边形
是平行四边形；（2）当点
是的中点时，求证：四边形是菱形．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上一动点，AE 的延长线交 CD 于点 F，交 BC 的延长线于点 G，M 是 FG 的中点.
(1)求证： ∠DAE=∠DCE；
(2)判断线段 CE 与 CM 的位置关系，并证明你的结论；
(3)当
，并且
恰好是等腰三角形时，求 DE 的长.
(1)求证： ∠DAE=∠DCE；
(2)判断线段 CE 与 CM 的位置关系，并证明你的结论；
(3)当
，并且恰好是等腰三角形时，求 DE 的长.
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在正方形
中，边、
分别在轴、轴上，点的坐标为
，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形
，交轴于点．
时，则点坐标为______；
（2）连接
，当点在线段上运动时，
的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；
（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．
中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．
时，则点坐标为______；（2）连接
，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；（3）连接
，当点在线段上运动时，求的最小值．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，
重合），
交于．
；
(2)求证：
；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
；(2)求证：
；(3)如图2，若正方形
边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
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较难
(0.4)
【推荐3】已知，如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，作射线BE，过点D作DF⊥BE于点F，交BC的延长线于点G，连接FC．求证：BF-DF=
CF．
(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和∠EBC相等的角，即______；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“BF-DF”的启发，可在线段BF上截取 BH=DF，再证HF=CF…．
小明：我受结论中“CF”的启发，可构造一个以CF为直角边的等腰直角三角形…．
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展：如图2，点M，N分别是线段BE，DG的中点，若AB=3，DE=1，则MN的长度为______．
CF．(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和∠EBC相等的角，即______；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“BF-DF”的启发，可在线段BF上截取 BH=DF，再证HF=
CF…．小明：我受结论中“
CF”的启发，可构造一个以CF为直角边的等腰直角三角形…．请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展：如图2，点M，N分别是线段BE，DG的中点，若AB=3，DE=1，则MN的长度为______．
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