如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，∠MAN内有一动点P，使得∠BPC＝90°．
(1)若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求
的值；
(2)若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．
(1)若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求
的值；(2)若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．
更新时间：2022-09-04 04:35:32
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【推荐1】问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形
的
边上取一点
，将
沿
翻折，使点
恰好落在
边上点
处．
，求
的度数；
（2）如图2，当
，且
时，求
的长；
问题解决：（3）如图3，延长
，与
的角平分线交于点
，
交于点
，当
时，求
的值．
的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
，求的度数；（2）如图2，当
，且时，求的长；问题解决：（3）如图3，延长
，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架
，交于点，支架与水平底座
的夹角
，
，
，
，灯罩抽象为
，
，
，
．
(1)若支架
，
①求
的度数；
②求
与水平底座之间的距离．（结果精确到
）
(2)若在（1）的条件下，将支架绕点旋转，使与水平底座之间的距离为
，求支架的旋转方向及角度．
（参考数据：
，
，
，
）
，交于点，支架与水平底座的夹角，，，，灯罩抽象为，，，．(1)若支架
，①求
的度数；②求
与水平底座之间的距离．（结果精确到）(2)若在（1）的条件下，将支架
绕点旋转，使与水平底座之间的距离为，求支架的旋转方向及角度．（参考数据：
，，，）
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【推荐1】如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为
米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将空地中的四边形
部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点
、点、点，而且根据实际需要，要使得
，并将儿童活动区（即四边形）划分为
和
两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．
（
）请直接写出线段
，，
之间的数量关系： ．
（
）如图②，若
米，请你计算儿童活动区的面积．
（
）请问是否存在一种设计方案，使得儿童活动区的面积最大？若存在，请求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．
是绿地公园的一块空地，其边长为米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将空地中的四边形部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．（
）请直接写出线段，，之间的数量关系： ．（
）如图②，若米，请你计算儿童活动区的面积．（
）请问是否存在一种设计方案，使得儿童活动区的面积最大？若存在，请求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】【活动与实践】
将两个全等的直角三角形一对直角边重合，按如图1所示摆放，若
，
，将
绕点逆时针旋转，过点作
，交直线于点．
【探究发现】
（1）如图2，连接，求证：平分
；
【迁移应用】
（2）如图3，当点
、、三点共线时，求的长；
（3）当点在射线上时，请直接写出
的长．
将两个全等的直角三角形一对直角边重合，按如图1所示摆放，若
，，将绕点逆时针旋转，过点作，交直线于点． 【探究发现】
（1）如图2，连接
，求证：平分；【迁移应用】
（2）如图3，当点
、、三点共线时，求的长；（3）当点
在射线上时，请直接写出的长．
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，
，
，点P沿
方向以每秒2个单位长度运动，点D为AB的中点，连接
，将
沿
翻折得到
，设点P的运动时间为t秒．
___________．
的长．（用含t的代数式表示）
右侧时，求点Q到边
时，求出t的值．
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【推荐1】如图，将
绕点A旋转得到
．
，当点
落在边上，延长与
交于点E．如果点E为边的中点，求的值；
(2)如图2，
，当点落在边上，且
与边相交于点E时，如果点E、分别为边、的中点，求的值．
绕点A旋转得到．
，当点落在边上，延长与交于点E．如果点E为边的中点，求的值；(2)如图2，
，当点落在边上，且与边相交于点E时，如果点E、分别为边、的中点，求的值．
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【推荐2】如图，在矩形中，
，将线段绕点A逆时针旋转
度
得到线段，过点作的垂线交射线于点
，交射线于点．在延长线上运动时，
与
始终相等，且
与
始终相似，请说明理由；
(2)[深入探究]若
，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当
时，求
的值；
(3)[拓展延伸]连接
，当
为等腰三角形时，求的值（用含
的代数式表示）．
中，，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点．
在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由；(2)[深入探究]若
，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值；(3)[拓展延伸]连接
，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
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【推荐1】在平面直角坐标系中，四边形
是矩形，点
，点
，点
，是对角线
的中点，且
交
于点．
(1)如图①，求点，点的坐标；
(2)将
沿
轴向右平移得
，点
、、的对应点分别为
，
，
，设
．
（ⅰ）如图②，与
重叠部分的面积为
．当与重叠部分为三角形时，
与相交于点，试用含有
的式子表示，并直接写出的取值范围；
（ⅱ）若与四边形
重叠部分的面积为
，当
时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
是矩形，点，点，点，是对角线的中点，且交于点． (1)如图①，求点
，点的坐标；(2)将
沿轴向右平移得，点、、的对应点分别为，，，设．（ⅰ）如图②，
与重叠部分的面积为．当与重叠部分为三角形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；（ⅱ）若
与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为(0，2)，以M为圆心，以4为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴正半轴相交于点A过A作AE∥BC，点D为弦BC上一点，AE＝BD，连接AD，EC．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)求证：AD＝CE；
(3)若点P是弧BAC上一动点(P点与A、B点不重合)，过点P的⊙M的切线PG交x轴于点G，若△BPG为直角三角形，试求出所有符合条件的点P的坐标．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)求证：AD＝CE；
(3)若点P是弧BAC上一动点(P点与A、B点不重合)，过点P的⊙M的切线PG交x轴于点G，若△BPG为直角三角形，试求出所有符合条件的点P的坐标．
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(0.4)
名校
【推荐3】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+10分别交x轴、y轴于B、C两点，在x轴负半轴上有一点A，tan∠CAO＝3，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
（2）在第四象限的抛物线上有一点P，连接AP交y轴于点E，点P的横坐标为m，线段OE长为点为n，求n与m的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，过点E作EF⊥CE交直线BC于点F，点D坐标为（0，3），连接FD，过点E作EH⊥FD于点H，交BC于点G，点K在CD上，连接KG，∠CKG＝∠EDH，点M在第一象限内，CM∥x轴，连接DM、FM，CM＝
，∠DFM＝45°﹣
∠DEH，求点P的坐标．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
（2）在第四象限的抛物线上有一点P，连接AP交y轴于点E，点P的横坐标为m，线段OE长为点为n，求n与m的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，过点E作EF⊥CE交直线BC于点F，点D坐标为（0，3），连接FD，过点E作EH⊥FD于点H，交BC于点G，点K在CD上，连接KG，∠CKG＝∠EDH，点M在第一象限内，CM∥x轴，连接DM、FM，CM＝
，∠DFM＝45°﹣∠DEH，求点P的坐标．
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