【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，，已知点的坐标为．

（1）求的值；
（2）点是线段OA上一点（不与点，重合），点是的延长线上一点，连接交于点，且，设的长为，的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点作交轴于点，点在线段上，且，连接并延长交的延长线于点，若，求点的坐标．

【推荐2】如图1、图2，平面上，四边形中，，，，，，点在上，且．将线段绕点顺时针旋转（）到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
   
(1)如图2．连接．
①求的度数，并直接写出当时，的值为______；
②若点到的距离为2，求的长；
(2)当时，求出点到直线的距离是多少（用含的式子表示）．

【推荐2】如图，已知一个直角三角形纸片，其中，，，、分别是、边上的点，连接．
   
(1)若将纸片的一角沿折叠，折叠后点与点重合，则______；
(2)如图1，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使，求的长；
(3)如图2，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使．
①试判断四边形的形状，并证明你的结论：
②求的长．

【推荐3】如图所示，

1．问题提出：如图1，在半径为3的中，，为弦，则的最大值为       ．
2．问题探究：如图2，在中，，，，D为上任意一点，E为上任意一点，连接，，求的最小值．
3．问题解法：如图3，某同学运用电脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边”中，，为线段，，为一段弧线，所在的圆与相切，D为上一点，一只电子蚂蚁从点A出发，其爬行路径为折线，其中，在段爬行的过程中，当时，电子蚂蚁停止移动．已知所在圆的半径为6，的长度为．结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行时，线段是否存在最小距离？若存在，求出的最小距离；若不存在，请说明理由．

【推荐1】综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图1，在矩形中，点E，F，G分别为边的中点，连接，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段和的位置和长度也随之变化．

   

（1）图2中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，请直接写出与之间的数量关系：_________．
（2）图3中，，求的值．
剪一剪，折一折：
（3）在（2）的条件下，连接图3中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得到（如图4）．点M，N分别在上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则的长为_________．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知B（8，0），C（0，6），P（﹣3，3），现将一直角三角板EPF的直角顶点放在点P处，EP交y轴于N，FP交x轴于M，把△EPF绕点P旋转：
（1）如图甲，①求OM+ON的值；

②求BM﹣CN的值；

（2）如图乙，①求ON﹣OM的值；

②求BM+CN的值．

【推荐2】如图，已知为等腰直角三角形，，点分别为边上的一动点（且满足），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，

(1)如图，当点与点重合时，求证：
；
；
(2)如图，当点与点不重合时，探究线段与之间的数量关系，请说明理由；
(3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，若，，，直接写出的长．

【推荐3】是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点．

(1)如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接．若，，求的长；
(2)如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线上一点，且．猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，直接写出的面积．