【推荐1】请阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．

请回答：
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为 ；
(2)求正方形MNPQ的面积；
(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S_△RPQ=，求AD的长．

【推荐2】（1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
   
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．
   

【推荐2】在中，，，，点，点 同时从点 出发，点沿边以的速度向点运动，点 从点 出发，沿边以的速度向点运动（点不与， 重合，点不与， 重合），设运动时间为．

（1）求证：；
（2）当为何值时，以为直径的与直线相切？
（3）把沿直线折叠得到，若 与梯形重叠部分的面积为，试求关于 的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？

【推荐3】如图，已知▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝m，E为BC边上的动点，连结AE，作点B关于直线AE的对称点F．
（1）若m＝6，①当点F恰好落在∠BCD的平分线上时，求BE的长；
②当E、C重合时，求点F到直线BC的距离；
（2）当点F到直线BC的距离d满足条件：2﹣2≤d≤2+4，求m的取值范围．

【推荐1】已知抛物线 和直线y＝（k+1）x+（k+1）²．
（1）求证：无论k取何值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）如果抛物线与x轴的交点A，B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D，E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE＝CG•AB，求抛物线的解析式．

【推荐3】（2015梧州）如图，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；
（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．