【推荐1】四边形中，，平分，，，，求的长．

【推荐3】如图①，在中，，，点为上一点，连接，点是的中点，连接，交于点，过点作于点．

(1)求证：；
(2)如图②，连接，解决以下问题：
①求的度数；
②求证：．

【推荐1】已知长方形，，， 为中点，点从点出发，沿着，边运动到点 停止，点的速度为，运动时间为．

（1）当点在边上运动时，________（用字母表示）；当点在 边上运动时，________（用字母表示）；
（2）当的面积为时，则________；
（3）当为等腰三角形时，则________．

【推荐2】已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．

(1)①如图1，当点D为边中点时，则的值为________；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
(2)如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．

【推荐3】已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示，求∠AFQ的度数；
（2）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．

【推荐2】综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片中，，，过点作，垂足为点，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
独立思考：（1）试探究四边形的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片中，在．上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，试探究四边形的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形的两条对角线长；
（4）若四边形为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
   

【推荐3】（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：
如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP²+BP²=CP²
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形
∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=       
∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°
∴P’P²+BP²=        ，即PA²+PB²=PC²
（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．
（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）²+PB²=PC²（其中k＞0），请直接写出k的值．
   

【推荐1】如图，直线l₁：y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l₁关于坐标原点中心对称后得到直线l₂，l₂与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求直线l₂的表达式；
（2）求证：四边形ABCD为菱形；
（3）除菱形ABCD外，是否在直线l₁上还存在点P，在直线l₂上还存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出符合条件的所有点P坐标，若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动过动点作，交于，连接，设、运动时间为秒，
   
(1)当秒时，点的坐标为（____，____），__________；
(2)当为何值时，以为顶点的三角形与相似；
(3)在平面内是否存在一个点，使以为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出的值，若不存在，说明理由．

【推荐3】【问题情景】
在正方形中，，点是边上的一个动点，过点作交于点，将正方形折叠，使点的对应点落在上，点的对应点为，折痕所在的直线交边于点，交边于点，与交于点，连接，过点作于点．
【猜想证明】
（1）如图①，当点是的中点，点和点重合时，试猜想：与的位置关系为______，数量关系为______．
（2）当点和点重合时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请就图②所示的情形给出证明；若不成立，请写出正确结论并加以证明．
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，若点是的三等分点，请直接写出的长度．