【推荐1】如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论．

【推荐3】如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．

(1)求证：；
(2)连接，取中点G，连接并延长交于H，连接．
①依题意，补全图形；
②求证：；
③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．

【推荐1】如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如果，求证：．

【推荐2】如图，点D、E、F分别是三角形的边、、上的点，．
   
(1)求证：．
(2)若，直接写出的值．

【推荐3】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，E是AC的中点，连结ED，AD．

(1)求证：DE 是⊙O的切线；
(2)若BD∶BC＝2∶5，AB＝5，求AC的长．

【推荐1】已知：如图，梯形中，，，过点作的平行线交于点．
   
(1)如果，求证：；
(2)如果，求证：．

【推荐2】如图所示，△ABC中AD⊥BC，E，F，G分别为BC，AB，AC的中点．求证四边形DEFG是等腰梯形．

【推荐3】我们定义：在四边形中，一条边上的两个角称为邻角，如果一条边上的邻角相等，且这条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形”
初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是___________．
问题探究：在完美四边形中，，，，，求该完美四边形的周长与面积．
应用拓展：请你类比研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出“完美四边形”的其中三条性质．

【推荐1】如图：已知线段，
   
(1)用圆规与直尺作一个黄金矩形，要求黄金矩形的长为线段（请保留作图痕迹）
(2)若，则矩形的面积______．

【推荐2】如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面3个结论：

①是等腰三角形；
②∽；
③点D是线段AC的黄金分割点．
请你从以上结论中只选一个加以证明
（友情提醒：证明①得8分，证明②得10分，证明③得12分）．