【推荐2】在等腰直角三角形中，．点P为直线上一个动点（点P不与点A，B重合），连接，点D在直线上，且．过点P作于点P，点D，E在直线的异侧，且，连接．

(1)如图1，当点P在线段上时，请依题意补全图形1，并证明；
(2)如图2，当点P在的延长线上时，请依题意补全图2，猜想和的位置关系和数量关系，并证明你的结论；
(3)如果点P在直线上运动（点P不与点A，B重合），请直接写出线段之间的数量关系（用等式表示）．

【推荐3】中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．

(1)若，
①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是                       ；（不需说明理由）
②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明；
(2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是               ．（不需说明理由）
(3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由）

【推荐1】已知正方形，，为平面内两点．

(1)【探究建模】如图1，当点在边上时，，且，，三点共线，求证：；
(2)【类比应用】如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线，猜想并证明线段，之间的数量关系；
(3)【拓展迁移】如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，请直接写出的长．

【推荐3】如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐2】如图1，在正方形中，，E是对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接．

   

(1)线段的数量关系是______；位置关系是______．
(2)如图2，当时，求的长．
(3)设，求y与x之间的函数解析式．

【推荐1】如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点．

(1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G．
①求证：；
②若，求的长；
(2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系．

【推荐2】数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点与点重合，过点作，与交于点，连接，则四边形是______（填菱形，矩形，正方形）
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点为的中点时，延长交于点，连接．试判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图，当点恰好落在边上时，，，，求的长．

   

【推荐3】已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF；

(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；

(3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．