【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103-104页的部分内容．
【定理证明】小明根据教材图24-2.2的提示，证明过程为：延长
至点
，使
，连接
、
…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
【定理应用】如图②，在
中，
，垂足为点
（点在
上），
是
边的中线，
垂直平分，则
与
的关系为_________．
【拓展提高】如图③，在中，
，
，
恰好是中线，则
的度数为_________．
如图24.2.1，画 并画出斜边上的中线， 最一量，看看 与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现， 恰好是的一半．下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图24.2.2，在 中，是斜边上的中线．求证：  ． |
至点，使，连接、…，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．【定理应用】如图②，在
中，，垂足为点（点在上），是边的中线，垂直平分，则与的关系为_________．【拓展提高】如图③，在
中，，，恰好是中线，则的度数为_________．
更新时间：2022-10-08 10:12:47
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解题方法
【推荐1】已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，A(a，b)满足
＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．OA∥CB．
（1）填空：a＝_______，b＝_______，点C的坐标为_______；
（2）如图1，点P(x，y)在线段BC上，求x，y满足的关系式；
（3）如图2，点E是OB一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在OB上运动时，
的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．OA∥CB．（1）填空：a＝_______，b＝_______，点C的坐标为_______；
（2）如图1，点P(x，y)在线段BC上，求x，y满足的关系式；
（3）如图2，点E是OB一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在OB上运动时，
的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
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【推荐2】如图，在△ABC中，BD⊥AC于D．若∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，E为线段BD上任一点．
（1）试求∠ABD的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
（1）试求∠ABD的度数；
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【推荐3】如图所示，△ABC中，∠A=96°．
（1）BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，请你求∠A1的度数；
（2）BA2平分∠A1BC，CA2平分∠A1CD，请你求∠A2的度数；
（3）依次类推，写出∠
与∠
的关系式．
（4）小明同学用下面的方法画出了α角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，垂足为O，作∠PON的角平分线OE，点A、B分别是OE、PQ上任意一点，再作∠ABP的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，那么∠C就是所求的α角，则α的度数为 ．
（1）BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，请你求∠A1的度数；
（2）BA2平分∠A1BC，CA2平分∠A1CD，请你求∠A2的度数；
（3）依次类推，写出∠
与∠的关系式．（4）小明同学用下面的方法画出了α角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，垂足为O，作∠PON的角平分线OE，点A、B分别是OE、PQ上任意一点，再作∠ABP的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，那么∠C就是所求的α角，则α的度数为 ．
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【推荐1】如图1，在一个池塘旁有一段笔直小路（B，C为小路两端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：
，
，
米，池塘的平面示意图如图2所示．
求作：
，使得
，交
于点H．（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)求的长．
，，米，池塘的平面示意图如图2所示．
求作：
，使得，交于点H．（不写作法，只保留作图痕迹）(2)求
的长．
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【推荐2】已知：如图，点，分别是等边
的两边，上的点，且AD=CE．
(1)求证：CD=BE；
(2)如图，过点B作
交于点F，已知
，求
的长度．
，分别是等边的两边，上的点，且AD=CE．(1)求证：CD=BE；
(2)如图，过点B作
交于点F，已知，求的长度．
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，过点D作
于点P，交
的延长线于点E．求证：
．
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【推荐1】如图1，在
中，
，
，
，点
是斜边上一点，以
为边作矩形
，
，连接
．
(1)求的面积；
(2)当为中点时，求证
；
(3)如图2，当
时，求的长．
中，，，，点是斜边上一点，以为边作矩形，，连接．(1)求
的面积；(2)当
为中点时，求证；(3)如图2，当
时，求的长．
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【推荐2】如图，四边形
中，
，
，E、F分别是
的中点．请你猜想
与的位置关系，并给予证明．
中，，，E、F分别是的中点．请你猜想与的位置关系，并给予证明．
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，
，点O是
并延长交
是矩形．
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【推荐1】如图，在中，分别以
为边在的同侧作等边三角形
，等边三角形
，等边三角形
，连接
．
是平行四边形；
(2)探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当满足条件______时，四边形是矩形；
②当满足条件______时，以
为顶点的四边形不存在．
中，分别以为边在的同侧作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接．
是平行四边形；(2)探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当
满足条件______时，四边形是矩形；②当
满足条件______时，以为顶点的四边形不存在．
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【推荐2】已知双曲线
的图象过点（1，2）．
（1）求k的值，并求当
时y的取值范围；
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
的图象过点（1，2）．（1）求k的值，并求当
时y的取值范围；（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线
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上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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