【推荐1】观察图形，解答下列问题．

(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有______个小圆圈；第n层有______（用含n的代数式表示）个小圆圈．
(2)图中从第一层到第n层一共有多少个圆圈？
(3)计算：的值；
(4)计算：的值．

【推荐2】【观察思考】

【规律发现】请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黑色方块的个数为__________．
（2）第n个图案中黑、白两种方块的总个数为__________．
【规律应用】
（3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．

【推荐3】一个圆形蛋糕放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成两块，两刀最多可以切成块，三刀最多可以切成块，刀最多可以切成块（如图）．

将上述问题转化为数学模型，实际上就是n条直线最多把平面分成几块问题，请先观察下列表格中实验数据，然后解答问题．

直线条数n	1	2	3	4	…
分成的最多平面块数	2	4	7	11	…

(1)求当时，分成最多的平面块数的值．
(2)设条直线把平面最多分成的块数是，请直接写出关于的表达式（是正整数）．
(3)根据（2）中关于的表达式，求当时，的值．

【推荐1】在数轴上，表示数2的点称为基准点，记作点F． 对于两个不同的点M和N， 若点M、N到基准点F的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点． 例如：图中的点M表示的数是，点N表示的数是6，它们到基准点F的距离都是4个单位长度，所以点M与点N互为基准变换点．

(1)已知点A表示的数是，点B表示的数是，点A与点B互为基准变换点．
①若，则                                        ；若，则                           ；
②用含的式子表示，则                                ．
(2)C、D为数轴上的两个动点，点C以每秒3个单位长度的速度从点M出发向右运动，点D以每秒1个单位长度的速度从点N出发向右运动，当点C、点D到点N的距离相等时，时间t为多少？
(3)点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为6个单位长度．对P、Q两点做如下操作：将点P沿数轴向右移动个单位长度得到， 为的基准变换点，将点沿数轴向右移动k个单位长度得到，为的基准变换点，……，依此顺序不断重复，得到，，，……． ；为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后的落点为，为的基准变换点，将数轴沿原点对折后的落点为，……，依此顺序不断重复，得到，，，……．；若，则k为多少？

【推荐2】观察下面的变形规律，解答下列问题．；；；
(1)若为正整数，则猜想_______________．
(2)根据上面的结论，解方程：．

【推荐3】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
   
(1)图中阴影部分的面积为　　；
(2)受此启发，得到＝　　；
(3)联系拓广，得到＝　　（用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）．