【推荐3】【问题情境】
如图1，四边形和四边形都为正方形，，点E在的延长线上，点G在的延长线上，分别连接对角线，，．将正方形从图1的位置开始绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）

【自主探究】

(1)小斌画出了旋转角时的情形（如图2），连接后，小斌发现四边形是平行四边形，请帮他证明这一结论；
(2)小亮画出了旋转角时的某一情形（如图3），连接、，写出线段、的关系： ______．

【拓展延伸】

(3)如图4，小颖在正方形绕点G旋转过程中（），连接、，请你直接写出当为等腰三角形时的值．

【推荐2】已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．

【推荐1】如图，点P为正方形的边上的一个动点，连接，点D与点E关于直线对称，连接，射线与射线交于点，连接．

(1)当时，求的度数；
(2)i）点P在运动过程中，的度数是否发生变化？如果不变，请求出它的度数，如果改变，请说明理由；
ii）求证：；
(3)若，点P从点C运动到点B时，求点F运动路径的长度．

【推荐2】几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…
在 中，P是上一点，点E 在直线的上方，连接，，，探究下列问题：

【认识模型】
（1）如图①，，
①连接，求证：；
②与满足的数量关系为　　　　；
【运用模型】
（2）已知，D 是的中点，且，
①如图②，若P是的中点，连接，求证：；
②若 ，当点P在上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出的长的最小值．

【推荐3】如图1，是的外接圆，点是的中点，过点作，交弦的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若的半径为6，求的值；
（3）如图2，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论．

【推荐1】综合与实践
在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，在等腰直角三角形中，，D是边上一动点（不与点B重合），，，交于点F．猜想线段，之间的数量关系并说明理由．

小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解，张老师给出提示：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．”两人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时，如图2所示．此时可以分别延长，交于点H，如图3所示，可知是等腰三角形，证明，从而得出线段，之间的数量关系． 小明：对于图2，我有不同的证明方法，过点F分别作的平行线，交边于点M，N，如图4所示，可知，且，又∵，可得与的相似比为，从而得出线段之间的数量关系．

任务一：如图2，猜想线段之间的数量关系为_________．
任务二：通过阅读上述讨论，请在小聪与小明的方法中选择一种，就图1中的情形判断线段之间的数量关系，并给出证明．
任务三：若，其他条件不变，当是直角三角形时，直接写出的长．

【推荐2】【探索发现】

（1）如图1，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于M，则成立吗?小丽是这样证明的．
证明：过点A作于点E，于点F，，，
∵，
∴
∴，
∴
【类比应用】
（2）如图2，对于四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于M，则的结论是否成立?请写出证明过程．
【拓展延伸】
（3）在图（3）的情形下，，则_________
（4）在图（4）的情形下，，则_________

【推荐3】如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点．

(1)当点与点重合时，如果，求的长；
(2)当点在线段的延长线上，
①求的值；
②如果，求的余切值．