【推荐1】数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，．

(1)求证：；
(2)求四边形草坪造型的面积．

【推荐3】如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
   
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．

【推荐1】如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E，已知．

(1)求的度数，
(2)若，求的长．

【推荐2】已知：为的直径，,为上一动点（不与、重合）.

（1）如图1，若平分，连接交于点.①求证：；②若，求的长；
（2）如图2，若绕点顺时针旋转得，连接.求证：为的切线.

【推荐3】已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．

【推荐1】已知：如图，为锐角三角形，．
求作：点P，使得，且．
作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；
②以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D（异于点C）；
③连接并延长交于点P．
所以点P就是所求作的点．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：
(2)完成下面的证明．
证明：连接
∵，
∴点C在上．
又∵，
∴（________________________）（填推理的依据），
由作图可知，，
∴（________________________）（填推理的依据）
________．
∴．

【推荐2】如图，已知的直径弦于点，且是的中点，连接并延长交于点.

（1）求证：；
（2）若，求的长．

【推荐3】如图，⊙O是ABC的外接圆，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E．求证：ADE∽BDA．

【推荐1】（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
是的中点，
∴，
∴①，
又∵②，
，
，
又，
，
，即，
根据证明过程，完成下列步骤：
①           ，②          ．
（2）【理解运用】如图1，是的两条弦，，
点是的中点，于点，则的长为_____．
（3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
   

【推荐2】如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BE＝4，DE＝8，求CD的长；
(3)在（2）的条件下，连接BC交AD于F，求的值．

【推荐3】如图：以的边AB为直径作⊙O，点C在OO上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点交于点G过作C∥BD交AB的延长线于点E
（1）求证：CG=BG
（2）∠BAD=30°，CG=4，求BE的长