在学习函数时，我们通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，并结合图象研究函数的性质．运用此方法研究函数
的图象与性质．
[操作画图]
①请完成以下列表：
则
______，
______．
②在平面直角坐标系中画出的图象．
[观察发现]
③观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质．
[拓展应用]
④若关于x的方程
有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
的图象与性质．[操作画图]
①请完成以下列表：
| x | … |  |  |  |  | 0 |  | 1 |  | 2 | … |
| y | … | 2 | a |  |  | 0 | b | |  | 2 | … |
______， ______．②在平面直角坐标系中画出
的图象．[观察发现]
③观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质．
[拓展应用]
④若关于x的方程
有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
更新时间：2022-11-16 18:21:30
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【推荐1】如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．
小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：
小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：
根据以上材料，回答问题：
（1）表格中α的值为 ．
（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．
①在这个函数关系中，自变量是 ，因变量是 ；（分别填入x1和x2）
②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；
③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为 ．
小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：
| x1＝AP | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| θ＝∠QMP | α | 85° | 130° | 180° | 145° | 130° |
小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：
根据以上材料，回答问题：
（1）表格中α的值为 ．
（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．
①在这个函数关系中，自变量是 ，因变量是 ；（分别填入x1和x2）
②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；
③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为 ．
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【推荐2】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并观察分析图象特征，概括函数性质的过程．学习完二次函数后，初三某班数学兴趣小组的同学们对函数y＝x（x﹣1）（x+1）性质进行了如下探究，请完善探究过程，并解决相关问题：
（1）如表是y与x的几组对应值，请填空．
①a＝______，b＝______．
②若M（﹣7，﹣336），N（n，336）为该函数图象上的两个点，则n＝_____．
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，已描出了表中部分坐标对应的点，请描出剩余坐标对应的点，并画出这个函数的大致图像．
（3）结合你所画的函数图像和上述探究过程，写出这个函数的一条性质：______．
（4）已知函数y＝2x﹣1的图像如图所示，请根据函数图像，直接写出不等式x（x﹣1）（x+1）≥2x﹣1的解集．（近似数保留一位小数，误差值不超过0.2）．
（1）如表是y与x的几组对应值，请填空．
x | … | ﹣2 | ﹣ | ﹣1 | ﹣ | 0 |
| 1 |
| 2 | … |
y | … | ﹣6 | ﹣ | 0 |
| 0 | a | 0 | b | 6 | … |
②若M（﹣7，﹣336），N（n，336）为该函数图象上的两个点，则n＝_____．
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，已描出了表中部分坐标对应的点，请描出剩余坐标对应的点，并画出这个函数的大致图像．
（3）结合你所画的函数图像和上述探究过程，写出这个函数的一条性质：______．
（4）已知函数y＝2x﹣1的图像如图所示，请根据函数图像，直接写出不等式x（x﹣1）（x+1）≥2x﹣1的解集．（近似数保留一位小数，误差值不超过0.2）．
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中，
，
，点
是线段
的中点．动点
从点
出发，沿射线
方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点
从点
出发沿折线
方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点
的面积为
．
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 
的图象经过
，与y轴交于点B，抛物线
与y轴交于点C．点P是抛物线 
在第四象限部分上的动点，且位于抛物线 
的下方，过点P作直线
轴，交抛物线于点Q．
的长；
(2)若抛物线的对称轴是直线
且 
①求抛物线的解析式；
②求点P的横坐标；
(3)当点Q恰为抛物线的最低点时， 
直接写出整数m的最大值．
的图象经过，与y轴交于点B，抛物线与y轴交于点C．点P是抛物线 在第四象限部分上的动点，且位于抛物线 的下方，过点P作直线轴，交抛物线于点Q．
的长；(2)若抛物线
的对称轴是直线且 ①求抛物线
的解析式；②求点P的横坐标；
(3)当点Q恰为抛物线
的最低点时， 直接写出整数m的最大值．
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【推荐2】确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
（1）
（2）
（1）
（2）
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）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D．
时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使
ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由；
时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，
和
，当
的值最大时，求直线PO的解析式．
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【推荐1】已知关于
的一元二次方程
，其中
为常数．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）已知函数
的图象不经过第三象限，求的取值范围．
的一元二次方程，其中为常数．（1）求证：无论
为何值，方程总有两个不相等实数根．（2）已知函数
的图象不经过第三象限，求的取值范围．
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真题
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【推荐2】某班“数学兴趣小组”对函数
的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量
的取值范围是全体实数，与
的几组对应值列表如下：
其中，m =___________．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质：
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程
有___________个实数根；
②方程
有___________个实数根；
③关于的方程
有4个实数根，a的取值范围是_____________________．
的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量
的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： | … | -3 |  | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |  | 3 | … |
| … | 3 |  | m | -1 | 0 | -1 | 0 | | 3 | … |
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质：
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与
轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根；②方程
有___________个实数根；③关于
的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________．
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与直线l：
有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点．
与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式；
，二次函数
，是否存在二次函数
，其图象经过点
，使得直线
的解析式；若不存在，请说明理由；
：
、直线
：
是抛物线
的两条切线，当
是否为定值，并说明理由．
