【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
可以看作
，表示3与
的差的绝对值也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和-2的两点之间的距离是____
（2）①若
，则x=
②若使x所表示的点到表示3和-2的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为____
【折叠】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和-1表示的点重合，则3表示的点与____表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和-5表示的点重合，则
①10表示的点和____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是___，点B表示的数是__；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合，试求a与b 之间的数量关系．
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】
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，则x= ②若使x所表示的点到表示3和-2的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为____
【折叠】
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（3）折叠纸面，若1表示的点和-1表示的点重合，则3表示的点与____表示的点重合．
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①10表示的点和____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是___，点B表示的数是__；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合，试求a与b 之间的数量关系．
更新时间：2022-11-19 11:13:35
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【推荐1】同学们都知道，
表示
与
之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
求
；
同样道理表示数轴上有理数
所对点到
和
所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得
，这样的整数是 ；
由以上探索猜想对于任何有理数
是否有最小值?如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：求 ；同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ；由以上探索猜想对于任何有理数是否有最小值?如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
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【推荐2】如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为3，若在数轴上存在点P，使得AP+BP=m，则称点P为点A和B的“m级精致点”，例如，原点O表示的数为0，则AO+BO=3+3=6，则称点O为点A和点B的“6级精致点”，根据上述规定，解答下列问题：
（1）若点C轴在数轴上表示的数为﹣5，点C为点A和点B的“m级精致点”，则m= ；
（2）若点D是数轴上点A和点B的“8级精致点”，求点D表示的数；
（3）如图，数轴上点E和点F分别表示的数是﹣2和4，若点G是点E和点F的“m级精致点”，且满足GE=3GF，求m的值.
（1）若点C轴在数轴上表示的数为﹣5，点C为点A和点B的“m级精致点”，则m= ；
（2）若点D是数轴上点A和点B的“8级精致点”，求点D表示的数；
（3）如图，数轴上点E和点F分别表示的数是﹣2和4，若点G是点E和点F的“m级精致点”，且满足GE=3GF，求m的值.
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【推荐3】【知识储备】
（1）数轴上点A表示的数为a，若向右移动m个长度单位后表示的数是 ；若向左移动n个长度单位后表示的数是 ．
（2）在数轴上A点表示数a，B点示数b，A在B的右边，A、B两点间的距离等于a-b．
【解决问题】
已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
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【解决问题】
已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
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【推荐1】阅读理解：
（1）我们知道
一般地：
（2）
则
.
并由此结果计算
的值．
（3）数轴上，A、B两点所表示的数分别是a，b，则AB两点之间的距离是
若x是一个有理数，设
问：当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？
（1）我们知道
一般地：
（2）
则
.并由此结果计算
的值．（3）数轴上，A、B两点所表示的数分别是a，b，则AB两点之间的距离是
若x是一个有理数，设
问：当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？
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解题方法
【推荐2】点
、
在数轴上分别表示有理数
、
，、两点之间的距离表示为
，在数轴上、两点之间的距离
．回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______．
（2）数轴上表示和－2的两点之间的距离表示为______；
（3）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子
进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在-2与3之间移动时，
的值总是一个固定的值为：______．
②请你画出数轴，探究：是否存在数，使
？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由．
、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______．
（2）数轴上表示
和－2的两点之间的距离表示为______；（3）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子
进行探究：①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数
的点在-2与3之间移动时，的值总是一个固定的值为：______．②请你画出数轴，探究：是否存在数
，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由．
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．
，则
，则
表示数轴上有理数
所对的两点距离之和．请你画出数轴，写出所有符合条件的整数
．
有最小值吗?若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由．
解答题-问答题
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【推荐1】如图，一扇窗户，所有窗框为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是a米，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃（本题中π取3，长度单位为米）．
(1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?（用含的代数式表示）
(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计（用含代数式表示）
(3)某公司需要购进30扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价：
当
时，该公司在哪家厂商购买窗户合算?
(1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米?（用含
的代数式表示）(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计（用含
代数式表示）(3)某公司需要购进30扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价：
铝合金（米/元） | 彩色玻璃（平方米/元） | 透明玻璃（平方米/元） | |
| 甲厂商 | 200 | 80 | 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米 |
| 乙厂商 | 220 | 60 | 80元/平方米，每购1平方米透明玻璃送0.1米铝合金 |
时，该公司在哪家厂商购买窗户合算?
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解答题-证明题
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名校
【推荐2】一个三位数m，将m的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在m之后，得到的四位数称为m的“如虎添翼数”．将m的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为
．例如：
，∵
，∴297的如虎添翼数n是2971，将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、297，则
．
(1)258的如虎添翼数是____________，
___________．
(2)证明任意一个十位数字为0的三位数M，它的“如虎添翼数”与M的个位数字之和能被11整除．
(3)一个三位数
（
且
），它的“如虎添翼数”t能被17整除，求
的最大值．
．例如：，∵，∴297的如虎添翼数n是2971，将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、297，则．(1)258的如虎添翼数是____________，
___________．(2)证明任意一个十位数字为0的三位数M，它的“如虎添翼数”与M的个位数字之和能被11整除．
(3)一个三位数
（且），它的“如虎添翼数”t能被17整除，求的最大值．
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解答题-证明题
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(0.4)
名校
【推荐3】如图，在
中，
是
边上的高，
是
边上的高，
相交于点
，且
．
(1)求证：
．
(2)动点
从点出发，沿线段
以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点
从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，
两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为
秒
①点
是线段上的一点（不与
点重合），当
时，
__________（用含的代数式表示）；设
，则
__________（用含
的代数式表示）
②点是直线上的一点且
．是否存在值，使以点
为顶点的三角形与以点
为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且． (1)求证：
．(2)动点
从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒①点
是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示）②点
是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】数学家欧拉最先把关于的多项式用记号
来表示，例如
，并把
常数时多项式的值用
来表示，例如
时多项式
的值记为
．
(1)若规定
，
①
的值是_________；
②若
，的值是_________；
(2)若规定
，
．
①有没有能使
成立的的值，若有，求出此时的值，若没有，请说明理由，
②直接写出
的最小值和此时满足的条件．
的多项式用记号来表示，例如，并把常数时多项式的值用来表示，例如时多项式的值记为．(1)若规定
，①
的值是_________；②若
，的值是_________；(2)若规定
，．①有没有能使
成立的的值，若有，求出此时的值，若没有，请说明理由，②直接写出
的最小值和此时满足的条件．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，给定一个正方形，要通过裁剪将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次裁剪分割成4个互不重叠的正方形，得到图2，称之为1个基本操作；第2次裁剪分割成7个互不重叠的正方形，得到图3，称之为2个基本操作……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中裁剪．
（1）5个基本操作后，共裁剪成______个正方形；100个基本操作后，共裁剪成______个正方形；
（2）经过若干次基本操作后，能否得到2021个互不重叠的正方形？若能，求出是几个基本操作后得到的；若不能，请说明理由．
（1）5个基本操作后，共裁剪成______个正方形；100个基本操作后，共裁剪成______个正方形；
（2）经过若干次基本操作后，能否得到2021个互不重叠的正方形？若能，求出是几个基本操作后得到的；若不能，请说明理由．
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，91除以
，129除以
，若
，求
