【推荐1】如图，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点与点关于轴对称.动点，分别在线段，上（点与点，不重合），且满足.
（1）求点，的坐标及线段的长度；
（2）当点在什么位置时，，说明理由；
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标.

【推荐2】已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式为______，不等式的解集为______．
（2）连接，，求的面积．
（3）点为直线上方抛物线上一点，设为点到直线的距离，当有最大值时，求点的坐标．

【推荐3】如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A，B．

(1)求抛物线的解析式；
(2)E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．
①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值．

【推荐1】新知学习：在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是图形W上的任意两点．若|x₁﹣x₂|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l_x＝m；若|y₁﹣y₂|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l_y＝n．如图①，图形W在x轴上的投形长度l_x＝|3﹣1|＝2；在y轴上的投影长度l_y＝|4﹣0|＝4．

(1)已知点A（3，3），B（4，1）．如图②所示，若图形W为△OAB，则l_x＝　 　，l_y＝　 　．
(2)在图②的基础上，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OCD，若图形W为△OCD，则l_x＝　 　，l_y＝　 　．
(3)在图②的基础上，将△OAB绕点O顺时针旋转45°得△OEF，若图形W为△OEF，则l_x＝　 　，l_y＝　 　．
(4)如图③，已知点C（4，0），点D在直线y＝﹣2x+6上，若图形W为△OCD，当l_x＝l_y时，求点D的坐标．

【推荐2】[探索规律]
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、 BC、 AC上，且DF//BC，EF//AB．设△ADF的边DF上的高为h₁，△EFC的边CE上的高为h₂．

(1)若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则=______；
(2)某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积关系进行了研究设△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积分别为S₁、 S₂、S， EC的长为a，则S₂=______ (用含a和h₂的式子表示)；S₁=_____ (用含a、h₁和h₂的式子表示)；S=______(用含a、h₁的式子表示)；从而得出S=2．
[解决问题]
(3)如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE//BC，DF//EG．若△ADE、△DBF．△EGC的面积分别为2、3、 5，求△ABC的面积．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

【推荐2】在中，，，，点是边上的一点，且动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，连结，作点关于直线的对称点，连结、设点的运动时间为秒．

   

(1)线段的长为______ ．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)连结，求的最小值．
(4)当时，直接写出的值．

【推荐3】【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
   
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到，依据是______；
A.              B.             C.             D.
(2)由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
(3)【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
(4)【灵活运用】如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段、、三者之间的等量关系，直接写出你的结论．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．过原点作直线，使它经过第一、三象限，直线与轴的正半轴所成角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为．
   
(1)若点与点重合，则　　（度），的值为　　；
(2)若，点落在点处，若点在四边形的边上，求点的坐标；
(3)作直线交轴于点，交直线于点，使得与是一对相似的等腰三角形，直接写出的值．

【推荐2】如图，已知的面积，，M为边上一动点（M与点A、B不重合），过点M作，交于点N，设．

(1)的边的高______；的面积______（用含x的代数式表示）
(2)把沿折叠，设折叠后点A的对应点为，与四边形重叠部分的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的范围；
②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大值是多少？

【推荐3】问题背景: 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：．
尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．
拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出的值．